On travaille sur les naturels d'abord :
Déjà x >=12 , si x contient un 0 dans un de ces chiffres ==> absurde .
supposons que l'écriture en base 10 de x ne contient pas 0 on a alors p(x) = produit de ces chiffres : 2^(n)=< p(x) =< 9^(n) et n est le nombre de chiffre que contient x et qui sont différent de 1 .
si x contient un ou deux chiffre différent de 1 . alors
2=<p(x) = (x-5)²-47 =<81
49=<(x-5)²=<128
7=<x-5=<11 ==> 12=<x=<16 seul 12 convient .
si n >=3 on a x>=2*(10^(n)-1)/(9)>(10^(n)-1)/(9) [c'est le plus petit nombre ne contenant pas de 0 ]
et étudiant ce polynôme x²-10x-22-9^n on se rend compte qu'il est positifs à partir de
sqrt(9^n+47)+5 or (10^(n)-1)/(9) est plus grand que ce nombre pour tout n>=3 donc p(x) ne peut satisfaire l'énoncé ==> la seul solution pour les entiers naturels est 12 .
Pour Z- je pense c'est la même méthode , la flemme de le faire dsl .
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