Equation

Résoudre dans N^2: 2^x+1=y^2

l'equation est équivalente a
2^x=(y-1)(y+1)
d'ou (y-1) et (y+1) doivent être des puissance de 2 car 2 est premier
le seul cas possible est y-1=2 et y+1=4
d'ou S=(3,3)

J'ai po compris...

boubou math a écrit:

l'equation est équivalente a
2^x=(y-1)(y+1)
d'ou (y-1) et (y+1) doivent être des puissance de 2 car 2 est premier
le seul cas possible est y-1=2 et y+1=4
d'ou S=(3,3)

meme si on suppose que c'est juste tu dois le prouver....n'est ce pas? sinon j'essaie de presenter ma solution apres ...

tu peux dire que y-1=2^m et y+1=2^n alors 2^n=2^m+2 alors 2^(n-1)-2^(m-1)=1
alors 2^(n-1)-2(m-1) est impaire ainsi m=1 ou n=1 et puisque 2^(n-1)-2^(m-1)=1>0 alors n=/=1 ainsi m=1 alors (3,3) est la seule solution...
sauf erreur..

2 est premier on appliquant le lemme de Gausse (y-1) et (y+1) devrait être des puissance de 2
posons y-1=2^n
on a alors y+1=2^n+2
y+1 doit être aussi une puissance de 2
d'ou y+1=2^k
on obtient l’équation suivante
2^k=2^n+2
2^k-2=2^n
2(2^(k-1)-1)=2^n
le lemme de gausse implique 2^(k-1)-1 est une puissance de 2 mais 2^(k-1)+1 est impair pour tous k>2
d'ou k=2
d'ou la seul solution de l’équation
2^k=2^n-2 est de k=2 et n=1
d'ou
y-1=2--->y=3
y+1=2+1=3
cela explique ce que je viens de dire