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  Démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG)

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expert_run
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MessageSujet: Démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG)    Démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG) EmptyMer 01 Juin 2011, 15:34

Salut . J'ai entamé le cours des inégalités alors je suis arrivé à l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG) alors svp j'aimerai avoir une démonstration différente de celle sur animaths.
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Othmaann
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MessageSujet: Re: Démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG)    Démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG) EmptyMer 01 Juin 2011, 19:17

La convexité de la fonction -ln appliqué à n réels >0 et de poids 1/n donne directement le résultat
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n.naoufal
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MessageSujet: Re: Démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG)    Démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG) EmptyMer 01 Juin 2011, 19:52

En d'autres termes l'inégalité de Jensen appliqué à f: x -> ln(x), étant concave et non convexe car f'': x -> -1/x^2 <0
Si tu avances jusqu'au cours de convexité dans le fascicule d'Animath tu la trouveras Smile
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expert_run
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MessageSujet: Re: Démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG)    Démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG) EmptyMer 01 Juin 2011, 19:58

Alors je crois que je dois jeter un coups d’œil sur les leçon du terminal car ça va beaucoup être utile.
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n.naoufal
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MessageSujet: Re: Démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG)    Démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG) EmptyMer 01 Juin 2011, 20:23

Pas forcément :p, la convexité et la concavité sont des notions importantes dans le domaine mathématique surtout en inégos, faut les maîtriser en dehors de toute considération comme un cours ou non . Smile
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MessageSujet: Re: Démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG)    Démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG) EmptyMer 01 Juin 2011, 22:11

OK
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louis
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louis

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MessageSujet: Re: Démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG)    Démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG) EmptyMer 01 Juin 2011, 22:33

Consulte ce lien:http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_arithm%C3%A9tico-g%C3%A9om%C3%A9trique
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Otto_Ludwig
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MessageSujet: Re: Démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG)    Démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG) EmptyJeu 02 Juin 2011, 15:52

Il existe d'autres preuves de l'IAG, dont une qui utilise la récurrence de Cauchy. Elle est moins rapide que celle qui utilise Jensen, mais beaucoup plus intéréssante.
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Othmaann
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MessageSujet: Re: Démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG)    Démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG) EmptyJeu 02 Juin 2011, 16:40

la récurrence de Cauchy ... un éclaircissement peut-être ?
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expert_run
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MessageSujet: Re: Démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG)    Démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG) EmptyJeu 02 Juin 2011, 16:47

Oui ça demande une disjonction des cas + récurrence.
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n.naoufal
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n.naoufal

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MessageSujet: Re: Démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG)    Démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG) EmptyJeu 02 Juin 2011, 17:57

Voila une autre preuve ingénieuse:

Sachant que pour tout x £ R, x=<exp(x-1)
notons M=(a_1+...+a_n)/n
alors :
a_1/M * a_2/M * ... * a_n/M =< exp(a_1/M-1) * exp(a_2/M-1) *...* exp(a_n/M-1) =exp(0)=1

alors: a_1*a_2*...*a_n =< M^n
d'où le résultat.

Cette méthode -non instructive, mais vraiment magnifique Cool - est proposée par le célèbre mathématicien George Pólya.

Je considère la méthode de convexité la plus importante; pour les deux autres méthodes à savoir la récurrence et la récurrence par disjonction de cas (obtenue par Cauchy) sont très longues et n'apportent pas grande chose à l'élève.


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MessageSujet: Re: Démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG)    Démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG) EmptyJeu 02 Juin 2011, 18:09

Merci pour cette démonstration


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n.naoufal
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MessageSujet: Re: Démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG)    Démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG) EmptyJeu 02 Juin 2011, 18:33

De rien. Smile
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