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 l'ensemble des nombres algébriques

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n.naoufal
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MessageSujet: l'ensemble des nombres algébriques   l'ensemble des nombres algébriques EmptyVen 03 Juin 2011, 15:38

les nombres algébriques l'ensemble des nombres algébriques 9e88b110 forment un corps commutatif.
sans l'utilisation du résultant. tongue
Montrer que celui ci est dénombrable. Déduire ensuite que l'ensemble des nombres algébriques Ada83210 et ainsi l'existence des nombres transcendants .
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boujmi3
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MessageSujet: Re: l'ensemble des nombres algébriques   l'ensemble des nombres algébriques EmptyVen 03 Juin 2011, 17:59

on utilise les extensions du Q ( je posterai une preuve)
une autre méthode de voir que Q(barre) <>C est de penser à la constante de liouville :som(10^(-i!)) Smile
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n.naoufal
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MessageSujet: Re: l'ensemble des nombres algébriques   l'ensemble des nombres algébriques EmptyVen 03 Juin 2011, 18:05

Oui tout à fait, cette méthode aussi est faisable en utilisant comme Liouville a fait les fractions continues et historiquement cette constante était le premier nombre réel qu'on a prouvé la transcendance.
Sinon pour la première question je serai très ravi de voir votre preuve, j'aurai une idée de plus Smile Merci.
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boujmi3
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MessageSujet: Re: l'ensemble des nombres algébriques   l'ensemble des nombres algébriques EmptyVen 03 Juin 2011, 23:24

d'apres un résultat connu il suffit de montrer que si a,b algébrique alors Q[a+b] ,Q[ab] de degré fini
soient donc a,b algebriques de degrés n,m respectivement , Q[b] est une extension de degré m sur Q donc a fortiori de degré <=m sur Q[a]=T , donc deg(W=T(b))<=m W considéré comme extension sur T, mais deg( W/Q)=deg(W/T)*deg(T/Q) ( ou X/Yveut dire que X est une extension de Y), ainsi deg(W/Q) <= mn , or ab et a+b £ W donc Q[a+b],Q[ab] sont évidemment de degrés finis, le fait que si a est algebrique alors 1/a est algébrique semble évident
PS: la preuve au dessus ne m'appartient pas Smile


Dernière édition par boujmi3 le Dim 05 Juin 2011, 01:10, édité 1 fois
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n.naoufal
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MessageSujet: Re: l'ensemble des nombres algébriques   l'ensemble des nombres algébriques EmptyVen 03 Juin 2011, 23:53

Merci surtout pour l’esprit du partage, à vraiment dit je préfère cette méthode que celle utilisant le résultant même si cette dernière est plus facile à établir sans aucun résultat à connaitre.
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