EXO ESPACE AFFINE !!!!!

soit (f,g) une famillle libre de C0( [ a,b] ,R )

1- Montrer que pour tout couple ( z , t ) app R^2 , il existe une unique application H dans vect (f,g ) telle que :

lintgrale (a-->b) h(x) f(x) dx = z
lintgrale (a-->b) h(x) g(x) dx= t

2- Montrer que l'ensemble des solutions dans C0 ( [a,b] , R ) du systeme ci-dessus est un sous espace affine que l'on précisera .

Bonne chance a tous ..

1- Le système :
uInteg(f(x)²)+vInteg(f(x)g(x)) = z
uInteg(f(x)g(x))+vInteg(g(x)²) = t
est de Cramer car son déterminant est égal à Integ(f(x)²)Integ(g(x)²)-Integ(f(x)g(x))² qui est strictement positif (en particulier, non nul) d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz (le cas d'égalité est exclus car (f,g) est libre).
2 - Soit E l'ensemble des solutions du système initial et F l'ensemble des solutions du système :
Integ(h(x)f(x))=0
Integ(h(x)g(x))=0
où h est l'inconnue.
Il est immédiat que F est un sous-espace vectoriel de C0([a,b],R).
h appartient à E <==> Integ(h(x)f(x))=z et Integ(h(x)g(x))=t
<==> Integ(h(x)f(x))=Integ(h0(x)f(x)) et Integ(h0(x)g(x))=t où h0 est la fonction trouvée dans la première question
<==> Integ(f(x)(h(x)-h0(x))=0 et Integ(g(x)(h(x)-h0(x))=0
<==> h-h0 appartient à F
D'où : F=E-h0 et donc E=h0+F
E est le sous-espace affine passant par h0 et dirigé par F.

bravo Mec ; TRES PROPRE !! Merci ..