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 TDM - Test 1 - Problème 1.

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AuteurMessage
MohE
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Masculin Nombre de messages : 317
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MessageSujet: TDM - Test 1 - Problème 1.   Mer 29 Juin 2011, 20:20

Problème.
Déterminer toutes les fonctions tels que pour tous réels x et y on a:


Source: Ce problème est directement copié d'un ancien olympiade de première.
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Nayssi
Maître


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MessageSujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1.   Mer 29 Juin 2011, 20:24

Celui-là était facile. J'ai trouvé f : x -> -x+(1/2)
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Calculus
Féru


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MessageSujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1.   Mer 29 Juin 2011, 20:29

Idem. C'est le seul que j'ai fait.
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ali-mes
Expert sup


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MessageSujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1.   Mer 29 Juin 2011, 20:31

J'ai pas pu participer avec vous, mais en tous cas, je vous propose ma réponse pour cet exo:

Ma réponse pour le premier exercice:

Spoiler:
 
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nmo
Expert sup


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MessageSujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1.   Mer 29 Juin 2011, 20:37

Je vous propose la solution suivante:
Dijkschneier a écrit:
Solution au problème 74 :
Soit f une fonction vérifiant l'EF.
Soit P(x,y) l'assertion : f(x-f(y))=1-x-y.
P(x+f(0),0) ==> f(x)=1-(x+f(0)-0=1-x-f(0)
Ainsi, f est de la forme : f(x)=1-x+c
Inversement, si f(x)=1-x+c, alors l'EF devient : 1-(x-f(y))+c = 1-x-y
<=> 1-x+f(y)+c=1-x-y
<=> f(y)+c = -y
<=> f(y) = -y - c
<=> 1-y+c = -y-c
<=> 2c=-1
<=> c=-1/2
Par suite : f(x)=1/2 - x
Synthèse :
La seule solution à l'EF est la fonction : x -> 1/2 -x
Au plaisir.
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nmo
Expert sup


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MessageSujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1.   Mer 29 Juin 2011, 20:40

ali-mes a écrit:
J'ai pas pu participer avec vous, mais en tous cas, je vous propose ma réponse pour cet exo:
Ma réponse pour le premier exercice:
Spoiler:
 
Qui te garantie l'existence d'un tel c?
Tu dois tout d'abord démontrer que 0 admat un antécédant par f.
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boubou math
Expert sup


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MessageSujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1.   Mer 29 Juin 2011, 20:42

la fonction est IR--->IR
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Mehdi.O
Expert sup


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MessageSujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1.   Mer 29 Juin 2011, 20:44

Mais peut-être pas surjective Wink
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Othmaann
Expert grade1


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MessageSujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1.   Mer 29 Juin 2011, 20:47

Problème assez facile, accessible à tous.
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steve 94
Féru


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MessageSujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1.   Mer 29 Juin 2011, 20:55

oui c'est exact !!
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Calculus
Féru


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MessageSujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1.   Mer 29 Juin 2011, 20:57

Ma solution :
http://www.pixenli.com/image1309377372064703000.html
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Nayssi
Maître


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MessageSujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1.   Mer 29 Juin 2011, 21:00

Ma solution :
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M.Marjani
Expert sup


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MessageSujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1.   Jeu 30 Juin 2011, 00:27

Mehdi.O a écrit:
Mais peut-être pas surjective Wink

La fonction est bien bijective, la chose qui assure l'unicité :p

P(-y, y) : f(-y-f(y))=1 et P(x, x) : f(x-f(x)) = 1-2x

L'injection: f(x)=f(y) <=> x-f(y) = x-f(x) => f(x-f(y)) = f(x-f(x)) = 1-x-y = 1-2x => x=y

La surjection: f(y) = x => y = 1-x-f(0)

Ainsi, le probléme est à la porté.
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Mehdi.O
Expert sup


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MessageSujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1.   Jeu 30 Juin 2011, 00:29

M.Marjani a écrit:
Mehdi.O a écrit:
Mais peut-être pas surjective Wink

La fonction est bien bijective, la chose qui assure l'unicité :p

P(-y, y) : f(-y-f(y))=1 et P(x, x) : f(x-f(x)) = 1-2x

L'injection: f(x)=f(y) <=> x-f(y) = x-f(x) => f(x-f(y)) = f(x-f(x)) = 1-x-y = 1-2x => x=y

La surjection: f(y) = x => y = 1-x-f(0)

Ainsi, le probléme est à la porté.
Oui elle est bijective dans ce cas.
Mais si ce n'était pas le cas, on ne peut pas conclure du fait que la fonction de IR => IR que 0 admet un antécédant par f
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yasserito
Expert sup


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MessageSujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1.   Jeu 30 Juin 2011, 12:24

Solution au probleme 1:
on a p(f(0),0): f(0)=1/2
et p(x+1/2,0):f(x)=1/2-x
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alpha601
Débutant


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MessageSujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1.   Ven 01 Juil 2011, 11:58

f(x-f(y))=1-x-y
pour y=0 on aura f(x-f(0))=1-x
posant X=x-f(0) donc x=X+f(0)

f(X)=1-X-f(0)

alors il ne suffit que déterminer la valeur de f(0)

selon la fonction obtenue :f(0)=1-f(0) donc f(0)=1/2



f(x)=-x+1/2
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MessageSujet: Re: TDM - Test 1 - Problème 1.   Aujourd'hui à 03:58

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