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 TDM - test 1 - Problème 4

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AuteurMessage
MohE
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MessageSujet: TDM - test 1 - Problème 4   Mer 29 Juin 2011, 20:37

Problème 4.
Soient et des reels strictement positifs tels que . Prouver que:


Cette belle inégalité était proposée par Sporovitch, et elle n'était pas trivial du tout. Il me parait que personne n'as abouti à une solution complète. J'invite tout les forumistes à participer dans cette discusion et à partager leurs idées.



Dernière édition par MohE le Mer 29 Juin 2011, 20:48, édité 1 fois
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: TDM - test 1 - Problème 4   Mer 29 Juin 2011, 20:42

Les inégalités de Sporovotich ..
Que veux-tu qu'on y fasses xD.
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boubou math
Expert sup


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MessageSujet: Re: TDM - test 1 - Problème 4   Mer 29 Juin 2011, 20:44

j'ai une petite question
Si on arrive po a résoudre un exo mais qu'on avance un peu dans la démonstration , es qu’il faut envoyer nôtre résultats ?
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MohE
Expert grade2


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MessageSujet: Re: TDM - test 1 - Problème 4   Mer 29 Juin 2011, 20:47

Non vous devez par contre l'envoyer!
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Calculus
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MessageSujet: Re: TDM - test 1 - Problème 4   Mer 29 Juin 2011, 20:53

On peut remarquer que :
http://www.pixenli.com/image1309377178029564900.html
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boubou math
Expert sup


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MessageSujet: Re: TDM - test 1 - Problème 4   Mer 29 Juin 2011, 21:07

ce que j'ai pu trouver est
et
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steve 94
Féru


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MessageSujet: Re: TDM - test 1 - Problème 4   Mer 29 Juin 2011, 21:11

si nn utilser une inégalité: https://i42.servimg.com/u/f42/16/62/75/03/codeco16.gif
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Calculus
Féru


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MessageSujet: Re: TDM - test 1 - Problème 4   Mer 29 Juin 2011, 21:12

à quoi sert le fait que abc=1 ?
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steve 94
Féru


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MessageSujet: Re: TDM - test 1 - Problème 4   Mer 29 Juin 2011, 21:14

ben ouais si tu veux prouver l'inégalité en question faut utiliser abc=1
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Calculus
Féru


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MessageSujet: Re: TDM - test 1 - Problème 4   Mer 29 Juin 2011, 21:17

de quelle manière l'utiliser ?
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steve 94
Féru


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MessageSujet: Re: TDM - test 1 - Problème 4   Mer 29 Juin 2011, 21:34

A3+b3+c3-(a²c+b²a+c²b) =(a-b)(a²-b²)+(b-c)(b²-c²) >= 0→a3+b3+c3> a²c+b²a+c²b pitetre
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Sporovitch
Maître


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MessageSujet: Re: TDM - test 1 - Problème 4   Mer 29 Juin 2011, 21:38

steve 94 a écrit:
A3+b3+c3-(a²c+b²a+c²b) =(a-b)(a²-b²)+(b-c)(b²-c²) >= 0→a3+b3+c3> a²c+b²a+c²b pitetre
et alors ? Shocked

Je pense que l'inégalité n'était pas triviale mais pas difficile j'espere voir plus de participations dans les prochains TDM
-les résultats de ce test seront affichés avec ceux du 2eme test : le DIMANCHE prochain ! .
-j'aimerai aussi voir les différentes solutions des forumistes pour cette inégalité.
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MohE
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MessageSujet: Re: TDM - test 1 - Problème 4   Jeu 30 Juin 2011, 03:51

Personne n'as trouvé une solution complète pour ce problème durant l'épreuve. Je vous présente ma solution en attendant les votres.
Solution.
Lemme.
Pour tous réels positifs , on a:
Preuve.
Trivial, elle équivaut à:

D'après le lemme on a:

Donc:
.
D'où:



Et par conséquent :





L'inégalité n'était pas tellement compliqué, mais astucieuse!

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Metaich.A
Habitué


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Age : 56
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MessageSujet: Re: TDM - test 1 - Problème 4   Jeu 30 Juin 2011, 05:24

Bonsoir Sporovitch Smile
l'inego apparait chadda, à rak chaaad mon fils sporovitch !
On pose :

ainsi l'inégalité est équivalente à :

encore une fois , changement de variables :

l'inégalité devient :

Or d'après l'inégalité de A.mehdi-G.metaich on a :


ainsi en sommant les deux inégalités(1) et (2), on en déduit l'inégalité demandée.
INTAHA.
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n.naoufal
Expert sup


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Date d'inscription : 05/11/2008

MessageSujet: Re: TDM - test 1 - Problème 4   Jeu 30 Juin 2011, 10:37

Très joli solution MohE.
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Sporovitch
Maître


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MessageSujet: Re: TDM - test 1 - Problème 4   Jeu 30 Juin 2011, 18:11

Ma solution :
On a l'inégalité est équivalente à :
a/b=x , b/c=y ; c/a=z
ce qui est vrai car :
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M.Marjani
Expert sup


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MessageSujet: Re: TDM - test 1 - Problème 4   Ven 01 Juil 2011, 00:44

Courtes et belles ! trés jolies solutions de la part de Sporovitch et MohE .
J'aime l'inégalité :p
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nmo
Expert sup


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MessageSujet: Re: TDM - test 1 - Problème 4   Ven 01 Juil 2011, 17:58

M.Marjani a écrit:
Courtes et belles ! trés jolies solutions de la part de Sporovitch et MohE .
J'aime l'inégalité :p
La troisiàme solution -celle de Metaich.A- est aussi à la hauteur, voire plus détaillée.
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MessageSujet: Re: TDM - test 1 - Problème 4   Aujourd'hui à 06:01

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