TDM - test 2 - Problème 4

Problème 4.
Le cercle inscrit au triangle touche les cotes , et en , et respectivement. Soit le milieu du cote . Prouver que , et sont concourantes.

Auteur du Problème : Inconnue.

Je vous propose ici une solution très élégante proposée par votre ami Mehdi.O :
Soit X le point d'intersection de IA_1 et B_1C_1. On note également Y et Z les points d'intersections des cercles circonscrits aux triangles XIC_1 et XIB_1 avec AB et AC respectivement. Sans nuire à la généralité du problème, supposons que Y se trouve entre A et C_1. On a donc : angle{YXI}=angle{ZXI}=90°, d'où X,Y et Z sont collinéaires et (YZ)||(BC). On a aussi angle{XYI}=angle{XC_1I}=angle{XB_1I}=angle{XZI}, alors IZ=IY et par conséquent XY=XZ. Soit maintenant M_1 l'intersection de AX avec BC. Puisque (YZ)||(BC), X est le milieu de YZ on déduit que M_1 est le milieu de BC. D'où le résultat.

MohE a écrit:

Je vous propose ici une solution très élégante proposée par votre ami Mehdi.O :
Soit X le point d'intersection de IA_1 et B_1C_1. On note également Y et Z les points d'intersections des cercles circonscrits aux triangles XIC_1 et XIB_1 avec AB et AC respectivement. Sans nuire à la généralité du problème, supposons que Y se trouve entre A et C_1. On a donc : angle{YXI}=angle{ZXI}=90°, d'où X,Y et Z sont collinéaires et (YZ)||(BC). On a aussi angle{XYI}=angle{XC_1I}=angle{XB_1I}=angle{XZI}, alors IZ=IY et par conséquent XY=XZ. Soit maintenant M_1 l'intersection de AX avec BC. Puisque (YZ)||(BC), X est le milieu de YZ on déduit que M_1 est le milieu de BC. D'où le résultat.

Merci Mohe