equation fonctionelle

trouver tous les fonctions continues f de R+ vers R+ qui vérifient :

f(0)=0
et f'(x)=1/f(f(x)) pour tout x>0

0000 a écrit:

trouver tous les fonctions continues f de R+ vers R+ qui vérifient :

f(0)=0
et f'(x)=1/f(f(x)) pour tout x>0

fof est continue sur IR*+ par composition de fonctions continues sur IR*+.
fof ne s'annule pas sur IR*+.
Alors f' est continue sur IR*+.
De plus, f' ne s'annule pas sur IR*+.
D'où f est un C¹-difféomorphisme sur IR*+.
Soit g la bijection réciproque de f sur IR*+, alors g' = 1/(f'og) = fofog = f sur IR*+.
Le problème initial se réduit à trouver les fonctions g telles que :
g(0) = 0.
g' = g-¹ sur IR*+.
Ce problème est classique.

c'est faux car f n'est pas nécessairement bijective, en effet de ( f' est continue sur IR*+) et
( f' ne s'annule pas sur IR*+) tu auras seulement la bijectivité de f' et pas de f.

non je pense que tu as juste mais je dois encore vérifier....

Vous avez raison, c'est incomplet; j'ai supposé que f(IR*+)=IR*+, donc je n'ai pas trouvé toutes les fonctions f, mais seulement les surjections.
J'essaierai d'élaborer un raisonnement plus complet.
Au revoir.

oui c'est ça, après je pense que la résolution de cet exo est plus fructueuse que ça.....