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 demande d'aide en arithmétique

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AuteurMessage
yassine sbai
Féru


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MessageSujet: demande d'aide en arithmétique   Jeu 07 Juil 2011, 13:52

Dans le cours d'arithmétique d'animath , que vous pouvez voir ici http://www.animath.fr/IMG/pdf/cours-arith1.pdf , page 17 exercice 13 , j'ai pas vraiment saisi la solution page 77 du meme document , oû est écrit:
On sait qu’il existe un nombre premier p qui est tel que tous les nombres p + 1, . . . , p + n soient composés.
comment peut on prouver cela et est ce qu'il possible de determiner le p?
Merci
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boubou math
Expert sup


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MessageSujet: Re: demande d'aide en arithmétique   Jeu 07 Juil 2011, 14:29

Prenons p=(n+1)!+1,le théorème de Dirichlet affirme qu'il y a une infinité de nombre premier p tels que p=ak+b.
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xyzakaria
Expert grade2


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MessageSujet: Re: demande d'aide en arithmétique   Jeu 07 Juil 2011, 17:18

en effet on peut trouver un nombre premier qui s'ecrit sous la forme p=m!+1 ou m>n ,car l ensemble des nombres premiers est infini,et puis le resultat decoule facilement.
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yassine sbai
Féru


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MessageSujet: Re: demande d'aide en arithmétique   Jeu 07 Juil 2011, 19:49

mais , d'abord : p=(n+1)!+1 n'est pas forcément premier ( par ex: (3+1)!+1=25 qui est composé)
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Nayssi
Maître


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MessageSujet: Re: demande d'aide en arithmétique   Jeu 07 Juil 2011, 19:59

Non, t'as pas bien compris!
D'après le théorème de Dirichlet, il existe une infinités de nombres premiers de la forme ak+b avec a et b premiers entre eux.
Prenons a=(n+1)! et b=1 (qui sont évidemment premiers entre eux).
Et donc Il existe une infinité de nombres premiers p de la forme p=(n+1)!+1. (IL EXISTE et non TOUS: Attention aux quantificateurs!)
Or (n+1)!=2*3*4*5*...*n*(n+1)
Donc p+1;p+2;p+3;...;p+n sont tous composés.
D'où la conclusion.
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yassine sbai
Féru


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MessageSujet: Re: demande d'aide en arithmétique   Ven 08 Juil 2011, 09:15

Nayssi a écrit:

Et donc Il existe une infinité de nombres premiers p de la forme p=(n+1)!+1. (IL EXISTE et non TOUS: Attention aux quantificateurs!)
Or (n+1)!=2*3*4*5*...*n*(n+1)
Donc p+1;p+2;p+3;...;p+n sont tous composés.
alors là , j'y vois plus clair , reste à savoir comment determiner le p pour un n donné ( ca peut quand (n+1)!+1 peut quand meme etre commposé)et si vous jetter un coup d'oeil sur l'exercice et la solution que j'ai cité , vous truverez qu'il ne suffis pas dans la réalité de prouver l'existence ( bien que ce soit necessaire) mais il faut determiner le p pour que Xavier retrouvee le nombre secret. Very Happy
Merci
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MessageSujet: Re: demande d'aide en arithmétique   Aujourd'hui à 03:58

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