"progression harmonique"

Soient a;b et c des entiers positifs tels que: a=20 et b/c .Trouver tous les triplets (a;b;c) tel que a;b et c sont en progression harmonique.

c'est quoi un progression harmonique ???

az360 a écrit:

c'est quoi un progression harmonique ???

Des nombres (en suite) sont en "progression harmonique" si les inverses de deux termes consécutifs sont en progression arithmétique.

salut!j'ai fait une tentative pour résoudre ce problème ,qui se base sur ce que j'ai pu comprendre dans la "progression harmonique"je crois que cela peut être faut,mais bon , j'écris qd mm ma démo:
a b et c sont en prog har donc:
1/b=1/a+r et1/c=1/a+2r
=> 1/b=1/a+r et 1/c -1/b=r
=> 1/b=1/a+r et 1/bk -1/b=r (kEN* et c=bk)
=>1/b=1/a+r et (1-k)/bk=r
=> 1/b=1/20+(1-k)/bk
=> 20k=bk+20(1-k)
=> 40 k -bk=20
=> k(40-b)=20
D 20={1,2.4.5.10.20}
donc il ne reste que le calcul: k=1 40-b=20.....
j'espère que qd 3 nombres sont en progression harmonique ça ne veut pas dire également qu'on aura affaire à une suite géométrique ,sinon si c'est le cas,alors considérez ma réponse comme un 1er cas du problème , je nai pas suffisament de temps pour continuer.j'attend vos remarques....
bonne nuit

Bon commencement .

bon, j'essaye maintenant avec la suite géométrique:
1/b =1/a *r et 1/c=1/a * r²
donc : r=a/b et 1/c=1/a * a²/b²
donc: r=a/b et 1/c = a/b²
donc : r=a/b et b²=ac
donc: r=a/b et b²=abk (puisque: b/c => c =Bk avec k E N*)
donc : r=a/b et b= ak
donc : r=a/b et c=ak²
donc : revenons à la première expres​sion(en rouge) ça va donner:
1/ak²=1/a *r²
donc : 1/k²=r²
donc : r² *k²=1
et on sait que :k E N* donc r E N* tq: r=1 et k=1
donc b=a=c=20
et j'attends vos remarques .

manazerty a écrit:

bon, j'essaye maintenant avec la suite géométrique:
1/b =1/a *r et 1/c=1/a * r²
donc : r=a/b et 1/c=1/a * a²/b²
donc: r=a/b et 1/c = a/b²
donc : r=a/b et b²=ac
donc: r=a/b et b²=abk (puisque: b/c => c =Bk avec k E N*)
donc : r=a/b et b= ak
donc : r=a/b et c=ak²
donc : revenons à la première expres​sion(en rouge) ça va donner:
1/ak²=1/a *r²
donc : 1/k²=r²
donc : r² *k²=1
et on sait que :k E N* donc r E N* tq: r=1 et k=1
donc b=a=c=20
et j'attends vos remarques .

Pk tu essaies avec la suite géométrique ?. Ça sert à rien .

je vois alors!je croyais qu'il fallait essayer avec les deux!pffffff!!!alors je me suis ennuyée pendant presque 10 min pour faire et recopier l'exo , mais bon c'est de ma faute.

C'est pas grave .Donc je te propose la solution.
b/c ==> Il existe k€IN tq c=b.k

(1/a)+(1/(b.k))=2/b <===> k(40-b)=20=20.1=2x10=5x4
Donc les triplets sont: (On doit prendre en compte que a=<b=<c)
(20;20;20) , (20;30;60) ;(20;35;140);(20;39;780);(20;38;380);(20;36;180)

je viens d'essayer sur mon brouillon c'et la même chose pour moi ,mais dis moi je viens de faire une remarque:
a=<b=<c ==>1/a>=1/b>=1/c
==> 1/c-1/b=<0 et 1/b -1/a=<0
==> r=<0
donc r=0
et donc a=b=c
non?

manazerty a écrit:

je viens d'essayer sur mon brouillon c'et la même chose pour moi ,mais dis moi je viens de faire une remarque:
a=<b=<c ==>1/a>=1/b>=1/c
==> 1/c-1/b=<0 et 1/b -1/a=<0
==> r=<0
donc r=0
et donc a=b=c
non?

Non c'est 1/a -1/b =r>=0 et 1/b-1/c=r>=0

tu es sûr??mais je crois que c'est plutot :
1/b=1/a +r
t'en es convaincu maintenant???

manazerty a écrit:

tu es sûr??mais je crois que c'est plutot :
1/b=1/a +r
t'en es convaincu maintenant???

c'est comme Expert... ta dit parce que : 1/a >= 1/b >= 1/c !!!

non quand on dit que a ,b,c sont en progression harmonique donc 1/c ; 1/b; 1/a sont en progression arithmétique alors: 1/a=1/b+r ==>1/a-1/b=r>=0

aah ouii je vois!alors dans ce cas il va falloir refaire l'exo , parce que si tu rejette un coup d'oeuil sur ma solution là dessus tu verras que moi , j'avais compris que 1/a 1/b et 1/c sont en progression arithmétique,et que je basais mes conclusions sur rien en disant que a<b<c
donc , c'est encore de ma faute, et il va falloir tout refaire!
donc moi ,je laiisse tomber; je commets des erreurs d'inattention irréparable!