Aide pour les futurs mathématiciens
 
AccueilAccueil  PortailPortail  FAQFAQ  RechercherRechercher  S'enregistrerS'enregistrer  Connexion  

Partagez | 
 

 TDM -test 5 - Problem 1

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Aller en bas 
AuteurMessage
Sporovitch
Maître


Masculin Nombre de messages : 211
Age : 22
Localisation : France
Date d'inscription : 06/09/2010

MessageSujet: TDM -test 5 - Problem 1    Ven 15 Juil 2011, 10:28

Problem 1 :
Soient a, b et x trois entiers positifs tels que x² + a = bx + 1. Montrer que
a² − b² n’est pas premier.


Auteur : Inconnu
Revenir en haut Aller en bas
geom
Maître


Masculin Nombre de messages : 189
Age : 22
Date d'inscription : 30/04/2011

MessageSujet: Re: TDM -test 5 - Problem 1    Ven 15 Juil 2011, 10:38

il faut montrer que a-b>1 et a+b>1
Revenir en haut Aller en bas
boubou math
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 521
Age : 21
Date d'inscription : 23/12/2010

MessageSujet: Re: TDM -test 5 - Problem 1    Ven 15 Juil 2011, 11:27

voici une solution
a²-b²=(a+b)(a-b) , supposons que a²-b² est premier , on a alors a+b=1 ou a-b=1 ou a-b=-1(le cas a+b=-1 est a rejeté car a+b>=1)
1/ cas: a+b=1-->a=1-b
l’équation est donc équivalente à x²+1-b=bx+1 --> x²=bx+b--->x²=b(x+1) ----> x²/(x+1)=b
b est un entier alors x²/x+1 est aussi un entier implique x+1 divise x² et comme x+1 est premier avec x² alors x=0 implique b=0 et a=1 donc a²-b²=1 qui n'est pas premier
2/cas:a-b=1---> a=1+b
l’équation est donc équivalente à x²+1+b=bx+1 -->x²=bx-b--->x²=b(x-1)--> x²/(x-1)=b
d'ou x²/(x-1) est entier d'ou x=2 et b=4 et a= 4*2+1-4=5 ainsi a²-b²=25-16=9 qui n'est pas premier .
3/cas a-b=-1
a-b<0 et a+b>0 alors a²-b²<0 donc a²-b² n'est pas premier .


Dernière édition par boubou math le Ven 15 Juil 2011, 19:12, édité 4 fois
Revenir en haut Aller en bas
expert_run
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 561
Age : 22
Localisation : Marrakech
Date d'inscription : 30/01/2011

MessageSujet: Re: TDM -test 5 - Problem 1    Ven 15 Juil 2011, 11:33

boubou math a écrit:
facile, voici une solution
a²-b²=(a+b)(a-b) , supposons que a²-b² est premier , on alors a+b=1 ou a-b=1
1/ cas: a+b=1-->a=1-b
l’équation est donc équivalente à x²+1-b=bx+1 --> x²=bx+b--->x²=b(x+1) ----> x²/(x+1)=b
b est un entier alors x²/x+1 est aussi un entier implique x+1 divise x² or cela est impossible car x+1 est premier avec x² .
2/cas:a-b=1---> a=1+b
l’équation est donc équivalente à x²+1+b=bx+1 -->x²=bx-b--->x²=b(x-1)--> x²/(x-1)=b
d'ou x²/(x-1) est entier , absurde . Cela finit la démonstration.
a-b=1 ou a-b=-1
Revenir en haut Aller en bas
boubou math
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 521
Age : 21
Date d'inscription : 23/12/2010

MessageSujet: Re: TDM -test 5 - Problem 1    Ven 15 Juil 2011, 11:35

Ma solution est incomplète, je suis entrain d’éditer
Revenir en haut Aller en bas
Misterayyoub
Maître


Masculin Nombre de messages : 139
Age : 22
Date d'inscription : 26/02/2011

MessageSujet: Re: TDM -test 5 - Problem 1    Ven 15 Juil 2011, 11:50

Voici ma solution :
On a x²+a=bx+1 doonc x²-bx+(a-1)=0 donc delta = b²-4a+4 ce qui est equivalent a delta = b²-a²+(a-2)² , puisque x est un entier positif donc delta doit etre un carré parfait , pour cela supposant que delta =k²
donc a²-b²=(a-2)²-k²=(a-2-k)(a-2+k)
Donc si a-2-k=1 , a-2+k doit etre different de a²-b² pour finir notre raisonnement , pour cela supposant que a-2-k=1 ce qui veut dire que a= 1+k+2 , donc (a-2+k) = 1+2k ! ( 1 )
Calculons maintenant b² :
tout en sachant que b²-4a+4=k² donc ( apres le calcul ) b² = 8+4k , (maintenant on peut calculer a²-b²)
a²-b² = ( 1+k+2)² -8-4k = 1+k²+4+2k+4+4k -8-4k = 1+2k+k² ce qui est different de 1+2k (1)
CQFD !
sauf erreur Smile

Revenir en haut Aller en bas
yasserito
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 615
Age : 21
Localisation : Maroc
Date d'inscription : 11/07/2009

MessageSujet: Re: TDM -test 5 - Problem 1    Ven 15 Juil 2011, 12:36

Soit a et b et x trois entiers positifs tel que x²+a=bx+1 (1)
Raisonnement par absurde : supposons que a²-b² est premier …
On a a²-b²=(a-b)(a+b)
Puisque 2b>=0 alors a+b>=a-b
Et puisque a²-b² est premier et a+b>=a-b alors a-b=1 et a+b=a²-b²
On a alors a=b+1 .
Remplaçons dans (1) a par b+1 :
On a alors x²+b-bx=0  x²-1 + b(1-x)=-1  (1-x)(x+1-b)=1
Et puisque 1-x £ Z et x+1-b £ Z car x £ Z et b £ Z
Alors soit (1-x=1) et (x+1-b=1) ou (1-x=-1) ou (x+1-b=-1)
Ainsi soit b=0 ou b=4
Alors (b=0 et a=1) ou (b=4 et a=5)
Alors a²-b²=1 ou a²-b²=9
Contradiction : car 1 et 9 sont non premiers
Alors ce qu’on a suppose est faux
Ainsi a²-b² est non premier.
Revenir en haut Aller en bas
M.Marjani
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 1665
Age : 22
Date d'inscription : 05/03/2010

MessageSujet: Re: TDM -test 5 - Problem 1    Ven 15 Juil 2011, 14:00

Même s'il est trivial.

a²-b²=(a-b)(a+b) premier et a+b >= a-b , alors deux cas : (a+b = 2 ou a+b = 1) et a-b=1 .

Dans les deux cas il y a une contradiction.
Revenir en haut Aller en bas
Mehdi.A
Maître


Masculin Nombre de messages : 100
Age : 52
Date d'inscription : 07/05/2011

MessageSujet: Re: TDM -test 5 - Problem 1    Ven 15 Juil 2011, 15:31

M.Marjani a écrit:
Même s'il est trivial.

a²-b²=(a-b)(a+b) premier et a+b >= a-b , alors deux cas : (a+b = 2 ou a+b = 1) et a-b=1 .

Dans les deux cas il y a une contradiction.
Voici qui ns a poussé a prendre la décision de l'IMO
BRavo MARJANI il a prouvé un exercice qu'avec 2 et 1
bravo encore !
ki na pas fait cette démonstration rha gher yadfaach je ferai le tout pour que MARJANI sera admis en MP******************** meme si cela peut me prendre plus que (10 min ) mais je l'espere bien .
Revenir en haut Aller en bas
n.naoufal
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 595
Age : 25
Localisation : France.
Date d'inscription : 05/11/2008

MessageSujet: Re: TDM -test 5 - Problem 1    Ven 15 Juil 2011, 18:02

Revenir en haut Aller en bas
M.Marjani
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 1665
Age : 22
Date d'inscription : 05/03/2010

MessageSujet: Re: TDM -test 5 - Problem 1    Ven 15 Juil 2011, 18:56

Mehdi.A a écrit:
M.Marjani a écrit:
Même s'il est trivial.

a²-b²=(a-b)(a+b) premier et a+b >= a-b , alors deux cas : (a+b = 2... ou a+b = 1) et a-b=1 .

Dans les deux cas il y a une contradiction.
Voici qui ns a poussé a prendre la décision de l'IMO
BRavo MARJANI il a prouvé un exercice qu'avec 2 et 1
bravo encore !
ki na pas fait cette démonstration rha gher yadfaach je ferai le tout pour que MARJANI sera admis en MP******************** même si cela peut me prendre plus que (10 min ) mais je l'espere bien .

Mdrr xd j'ai donné un simple exemple, que tu peux le généraliser comme suit:

a-b =< a+b et a²-b² premier alors a-b=1 et a+b=p ==> 2b+1=p ==> p-1=2b et 2a=p+1 et 2a=2(b+1)

D'autre part, x²+a=bx+1 <=> x²+(a-1)-(a-1)x=0 ==> x²=(a-1)(x-1) alors soit a-1=x-1 soit a-1=0 soit x-1=0

Si a=1 alors b=0 donc a²-b²=1 (contradiction) . Si x=1 alors x=0 (contradiction) . Si a-1=x-1 alors x²=(x-1)² (Contradiction)

Nchaalah... je suis optimiste... Razz


Dernière édition par M.Marjani le Ven 15 Juil 2011, 19:39, édité 1 fois
Revenir en haut Aller en bas
M.Marjani
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 1665
Age : 22
Date d'inscription : 05/03/2010

MessageSujet: Re: TDM -test 5 - Problem 1    Ven 15 Juil 2011, 19:01

n.naoufal a écrit:

Malheureusement, le premier passage est incorrecte. Tu peux la remarquer puisque a-1 n'est plus une constante, mais un variable.
Revenir en haut Aller en bas
M.Marjani
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 1665
Age : 22
Date d'inscription : 05/03/2010

MessageSujet: Re: TDM -test 5 - Problem 1    Ven 15 Juil 2011, 19:06

boubou math a écrit:
voici une solution
a²-b²=(a+b)(a-b) , supposons que a²-b² est premier , on alors a+b=1 ou a-b=1 ou a-b=-1(le cas a+b=-1 est a rejeté car a+b>=1)
1/ cas: a+b=1-->a=1-b
l’équation est donc équivalente à x²+1-b=bx+1 --> x²=bx+b--->x²=b(x+1) ----> x²/(x+1)=b
b est un entier alors x²/x+1 est aussi un entier implique x+1 divise x² et comme x+1 est premier avec x² alors x=0 implique b=0 et a=1 donc a²-b²=1 qui n'est pas premier
2/cas:a-b=1---> a=1+b
l’équation est donc équivalente à x²+1+b=bx+1 -->x²=bx-b--->x²=b(x-1)--> x²/(x-1)=b
d'ou x²/(x-1) est entier d'ou x=2 et b=4 et a= 4*2+1-4=5 ainsi a²-b²=25-16=9 qui n'est pas premier .
3/cas a-b=-1
a-b<0 et a+b>0 alors a²-b²<0 donc a²-b² n'est pas premier .

??

Spoiler:
 
Revenir en haut Aller en bas
n.naoufal
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 595
Age : 25
Localisation : France.
Date d'inscription : 05/11/2008

MessageSujet: Re: TDM -test 5 - Problem 1    Ven 15 Juil 2011, 19:13

Very Happy, je ne vois pas le problème, pourtant la solution est facilement compréhensible.
Revenir en haut Aller en bas
boubou math
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 521
Age : 21
Date d'inscription : 23/12/2010

MessageSujet: Re: TDM -test 5 - Problem 1    Ven 15 Juil 2011, 19:15

(a+b=1 et a-b premier ) ou (a-b=1 et a+b premier ) ou (a-b=-1 et a+b -(premier))
je ne voie pas ou est la faute ??
Revenir en haut Aller en bas
M.Marjani
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 1665
Age : 22
Date d'inscription : 05/03/2010

MessageSujet: Re: TDM -test 5 - Problem 1    Ven 15 Juil 2011, 19:28

n.naoufal a écrit:
Very Happy, je ne vois pas le problème, pourtant la solution est facilement compréhensible.

Je parle de l'équation, et l'utilisation du Delta.. est-elle autorisé?

Ce sujet est utile: http://mathsmaroc.jeun.fr/t16222p30-joli-probleme-ababab#138300

@Boubou math: Regardes bien ta solution, ce n'est guére ce que tu disais :d car 1 n'est pas premier.

Même les fractions sont interdites lorsqu'il s'agit d'un probléme d'arithmétique qu'aprés savoir qu'un tel nombre divise l'autre.
Revenir en haut Aller en bas
boubou math
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 521
Age : 21
Date d'inscription : 23/12/2010

MessageSujet: Re: TDM -test 5 - Problem 1    Ven 15 Juil 2011, 19:43

M.Marjani a écrit:
n.naoufal a écrit:
Very Happy, je ne vois pas le problème, pourtant la solution est facilement compréhensible.

Je parle de l'équation, et l'utilisation du Delta.. est-elle autorisé?

Ce sujet est utile: http://mathsmaroc.jeun.fr/t16222p30-joli-probleme-ababab#138300

@Boubou math: Regardes bien ta solution, ce n'est guére ce que tu disais :d car 1 n'est pas premier.

Même les fractions sont interdites lorsqu'il s'agit d'un probléme d'arithmétique qu'aprés savoir qu'un tel nombre divise l'autre.
si un nombre premier x s’écrit sous la forme x=ay alors forcement a=1 ou y=1 ou a=-1 ou y=-1 ,
j'arrive pas à trouver le problème.
Revenir en haut Aller en bas
M.Marjani
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 1665
Age : 22
Date d'inscription : 05/03/2010

MessageSujet: Re: TDM -test 5 - Problem 1    Ven 15 Juil 2011, 19:48

boubou math a écrit:
M.Marjani a écrit:
n.naoufal a écrit:
Very Happy, je ne vois pas le problème, pourtant la solution est facilement compréhensible.

Je parle de l'équation, et l'utilisation du Delta.. est-elle autorisé?

Ce sujet est utile: http://mathsmaroc.jeun.fr/t16222p30-joli-probleme-ababab#138300

@Boubou math: Regardes bien ta solution, ce n'est guére ce que tu disais :d car 1 n'est pas premier.

Même les fractions sont interdites lorsqu'il s'agit d'un probléme d'arithmétique qu'aprés savoir qu'un tel nombre divise l'autre.
si un nombre premier x s’écrit sous la forme x=ay alors forcement a=1 ou y=1 ou a=-1 ou y=-1 ,
j'arrive pas à trouver le problème.

Non c'est une régle incorrecte malheureusement. ay=x et x premier implique que si a>=y alors y=1 et a=Un nombre premier.
Revenir en haut Aller en bas
n.naoufal
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 595
Age : 25
Localisation : France.
Date d'inscription : 05/11/2008

MessageSujet: Re: TDM -test 5 - Problem 1    Ven 15 Juil 2011, 19:51

Pardon, mais je ne sais pas de quoi tu parles? A vrai dire, tu te mêles peut être les pinceaux en parlant de mon utilisation de Delta ici.
Revenir en haut Aller en bas
boubou math
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 521
Age : 21
Date d'inscription : 23/12/2010

MessageSujet: Re: TDM -test 5 - Problem 1    Ven 15 Juil 2011, 20:42

M.Marjani a écrit:
boubou math a écrit:
M.Marjani a écrit:
n.naoufal a écrit:
Very Happy, je ne vois pas le problème, pourtant la solution est facilement compréhensible.

Je parle de l'équation, et l'utilisation du Delta.. est-elle autorisé?

Ce sujet est utile: http://mathsmaroc.jeun.fr/t16222p30-joli-probleme-ababab#138300

@Boubou math: Regardes bien ta solution, ce n'est guére ce que tu disais :d car 1 n'est pas premier.

Même les fractions sont interdites lorsqu'il s'agit d'un probléme d'arithmétique qu'aprés savoir qu'un tel nombre divise l'autre.
si un nombre premier x s’écrit sous la forme x=ay alors forcement a=1 ou y=1 ou a=-1 ou y=-1 ,
j'arrive pas à trouver le problème.

Non c'est une régle incorrecte malheureusement. ay=x et x premier implique que si a>=y alors y=1 et a=Un nombre premier.

je comprend bien ou tu veux arriver mais ma démarche reste correcte facile a comprendre,le lemme que je viens de citer reste aussi correcte .
Revenir en haut Aller en bas
Mehdi.O
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 815
Age : 21
Localisation : Rabat
Date d'inscription : 23/07/2010

MessageSujet: Re: TDM -test 5 - Problem 1    Ven 15 Juil 2011, 21:30

Les solutions de boubou-math et de n.naoufal sont correctes et parfaites.
FIN DE LA DISCUSSION !! Razz
Revenir en haut Aller en bas
ali-mes
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 986
Age : 20
Localisation : Tétouan
Date d'inscription : 01/10/2010

MessageSujet: Re: TDM -test 5 - Problem 1    Ven 15 Juil 2011, 21:35

pourquoi il n'y a pas deux autres sujets pour discutter les 2 autres exos ? scratch
Revenir en haut Aller en bas
M.Marjani
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 1665
Age : 22
Date d'inscription : 05/03/2010

MessageSujet: Re: TDM -test 5 - Problem 1    Ven 15 Juil 2011, 23:36

boubou math a écrit:

M.Marjani a écrit:
Non c'est une régle incorrecte malheureusement. ay=x et x premier implique que si a>=y alors y=1 et a=Un nombre premier.

je comprend bien ou tu veux arriver mais ma démarche reste correcte facile a comprendre,le lemme que je viens de citer reste aussi correcte .

Elle est correcte dans ce cas seulement.. mais incorrecte si je te donne une deuxiéme équation..
Conclusion: le "ou" que t'as utiliser n'est pas à sa place, la preuve, prends une 2éme équation et tu vas avoir d'autres solutions qui ne sont plus correctes. :d

Elle reste une belle démarche.

@n.naoufal: Moi aussi je veux savoir pourquoi l'utilisation du Delta si "a-1" est un variable n'est plus autorisé.. Very Happy
Question: t'as vu le sujet que j'ai fillé?
Revenir en haut Aller en bas
Mehdi.O
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 815
Age : 21
Localisation : Rabat
Date d'inscription : 23/07/2010

MessageSujet: Re: TDM -test 5 - Problem 1    Sam 16 Juil 2011, 00:02

Marjani t'as mal compris le truc de "a-1" variable et Delta. Dans le sujet que tu as donné, l'inconnu est x et dans Delta nous retrouvons des données en fonction x, ici ce n'est pas autorisé.
Dans cette équation le variable est x, a n'a aucune relation avec x, on peut le considérer comme étant fixe ....
Revenir en haut Aller en bas
Contenu sponsorisé




MessageSujet: Re: TDM -test 5 - Problem 1    Aujourd'hui à 12:32

Revenir en haut Aller en bas
 
TDM -test 5 - Problem 1
Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Revenir en haut 
Page 1 sur 1
 Sujets similaires
-
» Le test de Rorschach
» Test de Student !
» test unilatéral vs test bilatéral
» Test de levene sous SPSS
» Corrélation entre 2 séries de données, quel test?

Permission de ce forum:Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Forum des amateurs de maths :: Lycée :: Première-
Sauter vers: