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 TDM - test 5- Problem 2

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Sporovitch
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Masculin Nombre de messages : 211
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MessageSujet: TDM - test 5- Problem 2    Ven 15 Juil 2011, 10:30

Problem 2

Dans le triangle ABC, O et I sont les centres des cercles circonscrit et inscrit respectivement.On note X la symetrique de I par rapport a O. Soit A_{1} la projection orthogonale de X sur BC. De maniere analogue on dfinit B_{1} et C_{1} . prouver que AA_{1} ,BB_{1} et CC_{1} sont concourantes.

Auteur : MohE
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: TDM - test 5- Problem 2    Mar 26 Juil 2011, 00:28

Ma Solution :
J'ai des problèmes avec Geogebra alors il est préférable de faire une figure pour mieux suivre dessus.
Sans nuire à la généralité du problème supposons que se trouve à l'intérieur de .
Par le théorème de CEVA il suffit de montrer donc que : .=> (*)

Maintenant soient et les milieux respectifs de et , et les points d'intersection du cercle inscrit avec les côtés .
On peut aisément remarquer que les trois trapézoïdes ont deux angles droits, et ainsi on obtient directement : , et .

Ainsi (*) devient équivalente à : .
Mais puisque :


.
On obtient directement le résultat voulu.
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ali-mes
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MessageSujet: Re: TDM - test 5- Problem 2    Mar 26 Juil 2011, 00:56

Mehdi.O a écrit:
Ma Solution :
J'ai des problèmes avec Geogebra alors il est préférable de faire une figure pour mieux suivre dessus.
Sans nuire à la généralité du problème supposons que se trouve à l'intérieur de .
Par le théorème de CEVA il suffit de montrer donc que : .=> (*)

Maintenant soient et les milieux respectifs de et , et les points d'intersection du cercle inscrit avec les côtés .
On peut aisément remarquer que les trois trapézoïdes ont deux angles droits, et ainsi on obtient directement : , et .

Ainsi (*) devient équivalente à : .
Mais puisque :


.
On obtient directement le résultat voulu.

Salut,

Désolé pour ma question, mais je comprend pas le passage signalé en rouge ?
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Mehdi.O
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Date d'inscription : 23/07/2010

MessageSujet: Re: TDM - test 5- Problem 2    Mar 26 Juil 2011, 01:06

ali-mes a écrit:
Mehdi.O a écrit:
Ma Solution :
J'ai des problèmes avec Geogebra alors il est préférable de faire une figure pour mieux suivre dessus.
Sans nuire à la généralité du problème supposons que se trouve à l'intérieur de .
Par le théorème de CEVA il suffit de montrer donc que : .=> (*)

Maintenant soient et les milieux respectifs de et , et les points d'intersection du cercle inscrit avec les côtés .
On peut aisément remarquer que les trois trapézoïdes ont deux angles droits, et ainsi on obtient directement : , et .

Ainsi (*) devient équivalente à : .
Mais puisque :


.
On obtient directement le résultat voulu.

Salut,

Désolé pour ma question, mais je comprend pas le passage signalé en rouge ?
Avec plaisir Smile
est le milieu de . Et puisque chaque trapézoide a deux angles droits, on peut facilement vérifier ( soit par Thalès, ou bien par des cosinus dans les triangles rectangles) que effectivement dans le côté opposé à la projection orthogonale de est le milieu de ce côté.
J'espère avoir répondu à ta question.
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ali-mes
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MessageSujet: Re: TDM - test 5- Problem 2    Mar 26 Juil 2011, 01:18

Mehdi.O a écrit:
ali-mes a écrit:
Mehdi.O a écrit:
Ma Solution :
J'ai des problèmes avec Geogebra alors il est préférable de faire une figure pour mieux suivre dessus.
Sans nuire à la généralité du problème supposons que se trouve à l'intérieur de .
Par le théorème de CEVA il suffit de montrer donc que : .=> (*)

Maintenant soient et les milieux respectifs de et , et les points d'intersection du cercle inscrit avec les côtés .
On peut aisément remarquer que les trois trapézoïdes ont deux angles droits, et ainsi on obtient directement : , et .

Ainsi (*) devient équivalente à : .
Mais puisque :


.
On obtient directement le résultat voulu.

Salut,

Désolé pour ma question, mais je comprend pas le passage signalé en rouge ?
Avec plaisir Smile
est le milieu de . Et puisque chaque trapézoide a deux angles droits, on peut facilement vérifier ( soit par Thalès, ou bien par des cosinus dans les triangles rectangles) que effectivement dans le côté opposé à la projection orthogonale de est le milieu de ce côté.
J'espère avoir répondu à ta question.

Merci Mehdi.O pour ta réponse !

Je l'ai compris, voici une méthode pour la démontrer:

Considérons l'application P qui relite chaque point X par un point Y tel que Y est la projection orthogonale de X sur (AC).

On a P(I)=E et P(X)=B_1 et P(O)=M_b

Et il est connu que la projection orthogonale conserve les barycentres.

Et puisque O est le milieu de [IX] on conclut que M_b est le milieu de [EB_1].

Les autres cas peut être traités analogiquement.



Dernière édition par ali-mes le Mar 26 Juil 2011, 02:23, édité 2 fois
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: TDM - test 5- Problem 2    Mar 26 Juil 2011, 01:19

Oui cest bien ça Smile
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MessageSujet: Re: TDM - test 5- Problem 2    Aujourd'hui à 21:48

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