Aide pour les futurs mathématiciens
 
AccueilAccueil  PortailPortail  FAQFAQ  RechercherRechercher  S'enregistrerS'enregistrer  Connexion  

Partagez | 
 

 olymiade Romania

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Aller en bas 
AuteurMessage
dhiab
Féru
avatar

Masculin Nombre de messages : 56
Age : 55
Date d'inscription : 27/01/2010

MessageSujet: olymiade Romania   Lun 18 Juil 2011, 16:23

Revenir en haut Aller en bas
yasserito
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 615
Age : 22
Localisation : Maroc
Date d'inscription : 11/07/2009

MessageSujet: Re: olymiade Romania   Lun 18 Juil 2011, 17:19

Posons x+y=k

On a k^3+k^3+30xy-3x²y-3xy²=2000
Alors 2k^3-2000+3xy(10-k)=0
Ainsi (k-10)(2k²+200+20k-3xy)=0
alors k=10 ou 2k²+200+20k-3xy=0
2k²+200-20k-3xy=0 <=> 2x²+2y²+xy+200+20x+20y=0
<=> 1/2(x+y)²+(x+20/3)².3/2+(y+20/3)².3/2+200/3=0
impossible

ainsi x+y=10
sauf erreur Very Happy


Dernière édition par yasserito le Mar 19 Juil 2011, 11:43, édité 1 fois
Revenir en haut Aller en bas
Othman24
Féru


Masculin Nombre de messages : 43
Age : 25
Date d'inscription : 23/07/2010

MessageSujet: Re: olymiade Romania   Lun 18 Juil 2011, 17:23

Car : 2000 = 3xy(10-(x+y)) + 2(x+y)^3 , si x+y<10 impossible, si x+y>10 impossible.
Revenir en haut Aller en bas
yasserito
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 615
Age : 22
Localisation : Maroc
Date d'inscription : 11/07/2009

MessageSujet: Re: olymiade Romania   Lun 18 Juil 2011, 17:25

Je vois que ce n'est pas necessaire qu'ils soient entier, ou bien j'ai commis une faute?!
Revenir en haut Aller en bas
yasserito
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 615
Age : 22
Localisation : Maroc
Date d'inscription : 11/07/2009

MessageSujet: Re: olymiade Romania   Lun 18 Juil 2011, 17:26

Othman24 a écrit:
Car : 2000 = 3xy(10-(x+y)) + 2(x+y)^3 , si x+y<10 impossible, si x+y>10 impossible.

Comment ? pourquoi c'est impossible! veuillez expliquer svp!
Revenir en haut Aller en bas
kira
Maître
avatar

Masculin Nombre de messages : 152
Age : 25
Localisation : casablanca
Date d'inscription : 15/05/2009

MessageSujet: Re: olymiade Romania   Lun 18 Juil 2011, 17:27

salut

si je me permet ,on a a^3 +b^3 +c^3 -3abc= 1/2 (a+b+c) [(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 ] qu'on peut prouver en dévellopent le determinant cyclyque D(a,b,c) de deux facons ou par simple calcul avec pqr .
donc
x^3+y^3-1000+30xy=1/2(x+y-10)[(x-y)^2+(y+10)^2+(10+x)^2]

or on a x^3+y^3-1000+30xy=1000-(x+y)^3=-(x+y-10)(100+10(x+y)+(x+y)²)
si on suppose (x+y-10)#0 on a contradiction
d'ou le resultat
Revenir en haut Aller en bas
yasserito
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 615
Age : 22
Localisation : Maroc
Date d'inscription : 11/07/2009

MessageSujet: Re: olymiade Romania   Lun 18 Juil 2011, 17:46

j'ai aime ta methode mais c'est pas aussi facile que ca de dire on a une contradiction c'est difficile un peu a montrer...
Revenir en haut Aller en bas
Othman24
Féru


Masculin Nombre de messages : 43
Age : 25
Date d'inscription : 23/07/2010

MessageSujet: Re: olymiade Romania   Lun 18 Juil 2011, 18:22

Vos methodes sont fausses à la fin.

Solution:

2000 = 3xy(10-(x+y)) + 2(x+y)^3 <=> 3xy(10-(x+y)) + 2(x+y-10)((x+y)² + 10(x+y) + 100)
<=> ((x+y)-10)(2(x+y)² + 20(x+y) + 200 - 3xy) = 0 Montrons que l'équation du gauche est différente de 0:

2(x+y)² + 20(x+y) + 200 - 3xy = 0 <=> 2((x+(y+5))²+75)=3xy>0
Prouvons ce qui est en rouge: 2(x+(y+5))² > 4x(y+5) >= 3xy <=> x(y+20)>=0
Si x>0: on a xy>0 alors y>0 alors c'est juste. Si x<0 alors y<0 donc 4x(y+5)>=3xy <=> xy>=-20 qui est juste (xy>0)

Cela prouve que ce qui est en rouge est juste. Et par conséquent, 2((x+(y+5))²+75)>3xy donc 10=x+y.
CQFD.


Dernière édition par Othman24 le Mar 19 Juil 2011, 02:00, édité 1 fois
Revenir en haut Aller en bas
kira
Maître
avatar

Masculin Nombre de messages : 152
Age : 25
Localisation : casablanca
Date d'inscription : 15/05/2009

MessageSujet: Re: olymiade Romania   Lun 18 Juil 2011, 19:49

yasserito a écrit:
j'ai aime ta methode mais c'est pas aussi facile que ca de dire on a une contradiction c'est difficile un peu a montrer...

puisque
x^3+y^3-1000+30xy=1/2(x+y-10)[(x-y)^2+(y+10)^2+(10+x)^2]

or on a x^3+y^3-1000+30xy=1000-(x+y)^3=-(x+y-10)(100+10(x+y)+(x+y)²)

donc
1/2(x+y-10)[(x-y)^2+(y+10)^2+(10+x)^2]=-(x+y-10)(100+10(x+y)+(x+y)²)
si (x+y-10)#0 on peut simplifier avec dc
1/2 [(x-y)^2+(y+10)^2+(10+x)^2] =-(100+10(x+y)+(x+y)²) la contradiction
dc
(x+y=10
Revenir en haut Aller en bas
yasserito
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 615
Age : 22
Localisation : Maroc
Date d'inscription : 11/07/2009

MessageSujet: Re: olymiade Romania   Lun 18 Juil 2011, 22:17

Othman24 a écrit:
Vos methodes sont fausses à la fin.

Solution:

2000 = 3xy(10-(x+y)) + 2(x+y)^3 <=> 3xy(10-(x+y)) + 2(x+y-10)((x+y)² + 10(x+y) + 100)
<=> ((x+y)-10)(2(x+y)² + 20(x+y) + 200 - 3xy) = 0 Montrons que l'équation du gauche est différente de 0:

2(x+y)² + 20(x+y) + 200 - 3xy = 0 <=> 2((x+(y+5))²+75)=3xy>0
Prouvons ce qui est en rouge: 2(x+(y+5))² > 4x(y+5) >= 3xy <=> x(y+20)>=0
Si x>0: on a xy>0 alors y>0 alors c'est juste. Si x<0 alors y<0 on divise ce qui est en rouge par x alors 4(y+5)=<y
donc y =< -5/3 (sauf le cas de y=-1, on peut vérifier qu'elle juste pour ce cas aussi..)

Cela prouve que ce qui est en rouge est juste. Et par conséquent, 2((x+(y+5))²+75)>3xy donc 10=x+y.
CQFD.

Il ne sont pas fausses, sinon prouve le moi ! scratch
Revenir en haut Aller en bas
Othman24
Féru


Masculin Nombre de messages : 43
Age : 25
Date d'inscription : 23/07/2010

MessageSujet: Re: olymiade Romania   Mar 19 Juil 2011, 01:41

yasserito a écrit:
Posons x+y=k

On a k^3+k^3+30xy-3x²y-3xy²=2000
Alors 2k^3-2000+3xy(10-k)=0
Ainsi (k-10)(2k²+200-20k-3xy)=0
alors k=10 ou 2k²+200-20k-3xy=0
2k²+200-20k-3xy=0 <=> 2x²+2y²+xy+200-20x-20y=0
<=> 1/2(x+y)²+(x-20/3)².3/2+(y-20/3)².3/2+200/3=0
impossible

ainsi x+y=10
sauf erreur Very Happy

Ta faute est en rouge.. t'as mal factorisé l'expression a^3-b^3 ou k^3-10^3.

La solution de Kira est juste.
Revenir en haut Aller en bas
yasserito
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 615
Age : 22
Localisation : Maroc
Date d'inscription : 11/07/2009

MessageSujet: Re: olymiade Romania   Mar 19 Juil 2011, 11:45

Othman24 a écrit:


Ta faute est en rouge.. t'as mal factorisé l'expression a^3-b^3 ou k^3-10^3.

La solution de Kira est juste.

C'est pas grande chose, suffit de remplacer le - par le + dans toutes les etapes d'apres ...
Tu peux la verifier mtn !
Revenir en haut Aller en bas
MacII
Débutant


Masculin Nombre de messages : 2
Age : 26
Date d'inscription : 15/06/2012

MessageSujet: Re: olymiade Romania   Ven 15 Juin 2012, 19:43

je l'ai trouvé avec une autre methode :
on suppose que x+y=10 est vrai

on a x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2000
(x+y)(x^2-xy+y^2)+(10)^3+30xy-2000
10x^2-10xy+10y^2+1000+30xy-2000
10x^2-10xy+10y^2-1000+30xy
10x^2+10y^2+20xy-1000
10(x^2+y^2+2xy)-1000
10(x+y)^2-1000
10(10)^2-1000
1000-1000 = 0

---> donc x+y=10
Revenir en haut Aller en bas
MacII
Débutant


Masculin Nombre de messages : 2
Age : 26
Date d'inscription : 15/06/2012

MessageSujet: Re: olymiade Romania   Ven 15 Juin 2012, 19:44

je l'ai trouvé avec une autre methode :
on suppose que x+y=10 est vrai

on a x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2000
(x+y)(x^2-xy+y^2)+(10)^3+30xy-2000
10x^2-10xy+10y^2+1000+30xy-2000
10x^2-10xy+10y^2-1000+30xy
10x^2+10y^2+20xy-1000
10(x^2+y^2+2xy)-1000
10(x+y)^2-1000
10(10)^2-1000
1000-1000 = 0

---> donc x+y=10
Revenir en haut Aller en bas
yasserito
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 615
Age : 22
Localisation : Maroc
Date d'inscription : 11/07/2009

MessageSujet: Re: olymiade Romania   Ven 15 Juin 2012, 21:23

MacII a écrit:
je l'ai trouvé avec une autre methode :
on suppose que x+y=10 est vrai

on a x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2000
(x+y)(x^2-xy+y^2)+(10)^3+30xy-2000
10x^2-10xy+10y^2+1000+30xy-2000
10x^2-10xy+10y^2-1000+30xy
10x^2+10y^2+20xy-1000
10(x^2+y^2+2xy)-1000
10(x+y)^2-1000
10(10)^2-1000
1000-1000 = 0

---> donc x+y=10

C'est l'implication inverse que tu as demontré ...
Revenir en haut Aller en bas
Contenu sponsorisé




MessageSujet: Re: olymiade Romania   

Revenir en haut Aller en bas
 
olymiade Romania
Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Revenir en haut 
Page 1 sur 1
 Sujets similaires
-
» Un problème d'olympiade
» IMPORTANT PETITION Romania and Bulgaria

Permission de ce forum:Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Forum des amateurs de maths :: Olympiades :: Arithmétiques-
Sauter vers: