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 Défi de géométrie

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AuteurMessage
ali-mes
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 986
Age : 21
Localisation : Tétouan
Date d'inscription : 01/10/2010

MessageSujet: Défi de géométrie    Sam 23 Juil 2011, 20:35

Soit ABC un triangle, et soient I, J et K les milieux respectifs de AB, BC et AC.

Considérons L, M et N les projections orthogonales de A, B et C sur BC, AC et AB.

Montrer que L, M et N appartiennent au cercle circonscrit au triangle IJK.
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Misterayyoub
Maître


Masculin Nombre de messages : 139
Age : 23
Date d'inscription : 26/02/2011

MessageSujet: Re: Défi de géométrie    Dim 18 Déc 2011, 12:51

Je vous propose cette solution :
[img][/img]
Il est facile de remarquer que les points , L,N,A,C sont coycliques ( <ANC=<ALC)
donc

<LNC = <LAC
on a maintenant K est milieu de AC et I est milieu de AB
donc IKCJ est un parralélogramme donc :
<JIK=<JCK
De la meme maniere IKJB est un parralélogramme :
donc <JIK=<IJL
on a maintenant <IJL+<INL=<JIK+90+<LNC
=<KCJ+90+<LAC
or on a ALC est un triangle rectangle en L donc <IJL+<INL = 180 , on déduit maintenant que I et N et L et J sont des points cocycliques , vu la symétrie on démontre de la meme maniere que K ,B , M , L sont cycyliques et que N,L,I,K sont cocycliques d'ou le résultat . Smile

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Défi de géométrie
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