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 Préparations aux olympiades de Terminale (2012)

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rimele
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 EmptyDim 06 Nov 2011, 22:22

problème 45;

Soit P(x)=ax^3+bx ,on dit que le couple (a,b) est n-gentil si :
pour tout k et m de IN : n divise P(m)-p(k) ==> n divise m-k
on dit que le couple (a,b) est trés gentil si il est n-gentil pour une infinité de valeurs de n.
1) trouver un couple (a,b) qui est 51-gentil mais pas tres gentil!
2)prouver que tout les 2010-gentil sont trés gentil..
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momo1729
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 EmptyLun 07 Nov 2011, 12:59

Pour le problème 43, voir la solution élégante de mavropnevma ici
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Sporovitch
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Sporovitch

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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 EmptyLun 07 Nov 2011, 15:43

Je vous propose un exo enfin si vous voulez:
Montrer qu'il existe 2 nombres irrationels a et b tq a^b soit rationel.
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rimele
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 EmptyLun 07 Nov 2011, 19:38

sqrt(2)^sqrt(2) et sqrt(2)
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nmo
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 EmptyLun 07 Nov 2011, 20:06

Sporovitch a écrit:
Je vous propose un exo enfin si vous voulez:
Montrer qu'il existe 2 nombres irrationels a et b tq a^b soit rationel.
On prendra par exemple: Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif et Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.
On aura Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif, qui est sans doute rationel.
rimele a écrit:
sqrt(2)^sqrt(2) et sqrt(2)
C'est faux, voici la valeur exacte de ce nombre:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Csqrt2%5E%7B%5Csqrt2%7D%5E%7B%5Csqrt2%7D.


Dernière édition par nmo le Mar 08 Nov 2011, 16:07, édité 1 fois
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rimele
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 EmptyLun 07 Nov 2011, 21:45

Mr nmo c'est correct!
en effet si sqrt(2)^sqrt(2) est rationnel c est gagne sinon :

Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 2})^{2}}=2
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momo1729
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 EmptyMar 08 Nov 2011, 12:20

Je pense qu'il faudrait attendre que les problèmes 44 et 45 aient été résolus pour proposer de nouveaux problèmes pour ne pas avoir la pagaille. Eventuellement celui qui a proposé le problème pourra donner sa solution si personne ne répond après quelques jours.
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nmo
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 EmptyJeu 10 Nov 2011, 14:19

Misterayyoub a écrit:
Bon , je vous propose ce probleme pour refaire vivre ce topic ,
Probleme 44 :
Soit :
Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif
a et b appartiennent a IN
Il y a quatre jours que j'ai la solution, mais je n'ai pas pu la rédiger ici.
Et enfin, la voici:
*Premièrement, on a le lemme suivant:
Soit p un entier.
Si p a autant de diviseurs que l'on veut, alors il est nul.
La démonstration découle immédiatement du fait que l'enseble des diviseurs d'un entier non nul est fini (C'est à dire que si p est non nul, alors il admet un nombre fini de diviseurs), et puis l'utilisation de l'implication contraposée.
*Deuxièmement, on a le deuxième lemme:
Soient p, x et m trois entiers.
Si Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 X^m, alors Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 X.
Et pour ce qui est de la démonstration, on supose que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 X^m et on doit démontrer que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 X.
Pour cela, on suppose par l'absurde que p ne divise pas x et soit Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.latex?x=p la division euclédienne de x par p (r est différent de 0).
On a Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif, donc Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.
Et puisque r est différent de 0, il résulte que p ne divise pas Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.
Et cela constutue une contradiction avec Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 X^m, donc ce qu'on a supposé est faux.
Il résulte que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 X.

*Maintenant, on revient à l'exercice:
On a selon l'énoncé: Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A^n+n.
Je traite deux cas selon les valeurs de b:
-Cas premier: b=0.
On aura Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A^n+n, soit Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A^n+n.
Ou encore Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A^n, et ainsi Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A, selon le second lemme.
Cela veut dire que a admet autant de diviseurs que l'on veut, donc a=0 selon le premier lemme.
On conclut que a=b=0, dans ce cas.
-Cas second: Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.
On a: Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A^n+n.
On prends n=b, on trouve que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A^b+b, soit Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A^b+b.
Ainsi Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.latex?(\exists k\in\mathbb{N}):a^b+b=k.
Donc Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.latex?(\exists k\in\mathbb{N}):a^b=k, ou bien Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.latex?(\exists k\in\mathbb{N}):a^b=b\big(k.
Il s'ensuit que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A^b.
Et donc Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A, selon le second lemme.
D'où l'existence d'un entier t qui vérifie Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.latex?a=b.
La première relation de l'exercice s'écrit par conséquent: Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 (b.
Ou encore Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 B^n.t^n+t^n.n-t^n.
Donc Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 N(1-t^n).
Pour n=1, on aura Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 1-t.
Pour n=2, on aura Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 2(1-t^2).
On itère la procédure autant de fois que l'on veut.
Or, on sait que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 1-t^n et que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 N(1-t^n).
Il en découle que, l'entier Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif, lorsque n décrit l'ensemble des entiers naturels, a autant de diviseurs que l'on veut.
C'est à dire que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif selon le premier lemme.
Et puisque n est une variable, on aura forcément t=1.
Ainsi a=b, dans ce cas aussi.
-Conclusion:
Dans les deux cas, on a démontré que a=b.
CQFD.
Sauf erreur.
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nmo
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 EmptyJeu 10 Nov 2011, 14:22

rimele a écrit:
Mr nmo c'est correct!
en effet si sqrt(2)^sqrt(2) est rationnel c est gagne sinon :
Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 2})^{2}}=2
C'est faux, car tu met l'égalité, à ce que je vois, entre Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif et Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif (Cette égalité n'est vérifiée que si a=1 ou a=2).
Et voici le problème courant:
rimele a écrit:
problème 45;
Soit P(x)=ax^3+bx ,on dit que le couple (a,b) est n-gentil si :
pour tout k et m de IN : n divise P(m)-p(k) ==> n divise m-k
on dit que le couple (a,b) est trés gentil si il est n-gentil pour une infinité de valeurs de n.
1) trouver un couple (a,b) qui est 51-gentil mais pas tres gentil!
2)prouver que tout les 2010-gentil sont trés gentil..
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Misterayyoub
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 EmptyJeu 10 Nov 2011, 17:11

nmo a écrit:
Misterayyoub a écrit:
Bon , je vous propose ce probleme pour refaire vivre ce topic ,
Probleme 44 :
Soit :
Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif
a et b appartiennent a IN
Il y a quatre jours que j'ai la solution, mais je n'ai pas pu la rédiger ici.
Et enfin, la voici:
*Premièrement, on a le lemme suivant:
Soit p un entier.
Si p a autant de diviseurs que l'on veut, alors il est nul.
La démonstration découle immédiatement du fait que l'enseble des diviseurs d'un entier non nul est fini (C'est à dire que si p est non nul, alors il admet un nombre fini de diviseurs), et puis l'utilisation de l'implication contraposée.
*Deuxièmement, on a le deuxième lemme:
Soient p, x et m trois entiers.
Si Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 X^m, alors Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 X.
Et pour ce qui est de la démonstration, on supose que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 X^m et on doit démontrer que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 X.
Pour cela, on suppose par l'absurde que p ne divise pas x et soit Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.latex?x=p la division euclédienne de x par p (r est différent de 0).
On a Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif, donc Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.
Et puisque r est différent de 0, il résulte que p ne divise pas Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.
Et cela constutue une contradiction avec Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 X^m, donc ce qu'on a supposé est faux.
Il résulte que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 X.

*Maintenant, on revient à l'exercice:
On a selon l'énoncé: Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A^n+n.
Je traite deux cas selon les valeurs de b:
-Cas premier: b=0.
On aura Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A^n+n, soit Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A^n+n.
Ou encore Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A^n, et ainsi Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A, selon le second lemme.
Cela veut dire que a admet autant de diviseurs que l'on veut, donc a=0 selon le premier lemme.
On conclut que a=b=0, dans ce cas.
-Cas second: Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.
On a: Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A^n+n.
On prends n=b, on trouve que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A^b+b, soit Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A^b+b.
Ainsi Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.latex?(\exists k\in\mathbb{N}):a^b+b=k.
Donc Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.latex?(\exists k\in\mathbb{N}):a^b=k, ou bien Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.latex?(\exists k\in\mathbb{N}):a^b=b\big(k.
Il s'ensuit que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A^b.
Et donc Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A, selon le second lemme.
D'où l'existence d'un entier t qui vérifie Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.latex?a=b.
La première relation de l'exercice s'écrit par conséquent: Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 (b.
Ou encore Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 B^n.t^n+t^n.n-t^n.
Donc Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 N(1-t^n).
Pour n=1, on aura Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 1-t.
Pour n=2, on aura Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 2(1-t^2).
On itère la procédure autant de fois que l'on veut.
Or, on sait que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 1-t^n et que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 N(1-t^n).
Il en découle que, l'entier Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif, lorsque n décrit l'ensemble des entiers naturels, a autant de diviseurs que l'on veut.
C'est à dire que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif selon le premier lemme.
Et puisque n est une variable, on aura forcément t=1.
Ainsi a=b, dans ce cas aussi.
-Conclusion:
Dans les deux cas, on a démontré que a=b.
CQFD.
Sauf erreur.
Ta solution me parrait juste , j'ai juste quelques ambiguités vers la fin , Comment t'as trouvé que n(1-t^n ) a le nombre de diviseurs que l'on veut ? ( je pense que pour chaque n on a un certain diviseur ... ce qui ne veut pas dire qu'il a le nombre de diviseurs que l'on veut parce que ca depend de n ).
j'aimerais bien savoir ce que tu penses . Amicalement Smile
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Misterayyoub
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 EmptyJeu 10 Nov 2011, 17:15

Ce que j'ai fait moi une fois arrivé à b^n + n l n ( 1-t^n ) , c'est déduire que n(1-t^n ) >= b^n + n >= o d'ou t^n<= 1 donc t= 1 .
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momo1729
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 EmptyJeu 10 Nov 2011, 17:20

regardez donc ici : http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=56&t=444693
En 6 lignes.
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manazerty
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 EmptyJeu 10 Nov 2011, 17:29

moi aussi je ne vois pas comment n(1-t^n) peut avoir autant de diviseur que l'on veut , car pour chaque valeur de n on a selon ce que tu as écris un / deux diviseurs .. peux-tu expliquer un peu plus ta conclusion?
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rimele
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 EmptyJeu 10 Nov 2011, 20:54

Mr Nmo je cherche pas á t'attaque mais bon c'est correct et je le repete mille fois voici une demonstration claire:(je note sqrt(2)=a)

si a^a est rationnel c'est terminer;si non on a : (a^a)^a=exp(a*ln(a^a))=exp(a*a*ln(a))=exp(2ln(a))=exp(ln(a^2))=exp(ln(2))=2..
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 EmptyJeu 10 Nov 2011, 21:50

Misterayyoub a écrit:
nmo a écrit:
Misterayyoub a écrit:
Bon , je vous propose ce probleme pour refaire vivre ce topic ,
Probleme 44 :
Soit :
Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif
a et b appartiennent a IN
Il y a quatre jours que j'ai la solution, mais je n'ai pas pu la rédiger ici.
Et enfin, la voici:
*Premièrement, on a le lemme suivant:
Soit p un entier.
Si p a autant de diviseurs que l'on veut, alors il est nul.
La démonstration découle immédiatement du fait que l'enseble des diviseurs d'un entier non nul est fini (C'est à dire que si p est non nul, alors il admet un nombre fini de diviseurs), et puis l'utilisation de l'implication contraposée.
*Deuxièmement, on a le deuxième lemme:
Soient p, x et m trois entiers.
Si Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 X^m, alors Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 X.
Et pour ce qui est de la démonstration, on supose que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 X^m et on doit démontrer que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 X.
Pour cela, on suppose par l'absurde que p ne divise pas x et soit Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.latex?x=p la division euclédienne de x par p (r est différent de 0).
On a Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif, donc Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.
Et puisque r est différent de 0, il résulte que p ne divise pas Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.
Et cela constutue une contradiction avec Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 X^m, donc ce qu'on a supposé est faux.
Il résulte que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 X.

*Maintenant, on revient à l'exercice:
On a selon l'énoncé: Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A^n+n.
Je traite deux cas selon les valeurs de b:
-Cas premier: b=0.
On aura Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A^n+n, soit Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A^n+n.
Ou encore Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A^n, et ainsi Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A, selon le second lemme.
Cela veut dire que a admet autant de diviseurs que l'on veut, donc a=0 selon le premier lemme.
On conclut que a=b=0, dans ce cas.
-Cas second: Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.
On a: Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A^n+n.
On prends n=b, on trouve que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A^b+b, soit Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A^b+b.
Ainsi Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.latex?(\exists k\in\mathbb{N}):a^b+b=k.
Donc Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.latex?(\exists k\in\mathbb{N}):a^b=k, ou bien Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.latex?(\exists k\in\mathbb{N}):a^b=b\big(k.
Il s'ensuit que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A^b.
Et donc Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 A, selon le second lemme.
D'où l'existence d'un entier t qui vérifie Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.latex?a=b.
La première relation de l'exercice s'écrit par conséquent: Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 (b.
Ou encore Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 B^n.t^n+t^n.n-t^n.
Donc Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 N(1-t^n).
Pour n=1, on aura Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 1-t.
Pour n=2, on aura Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 2(1-t^2).
On itère la procédure autant de fois que l'on veut.
Or, on sait que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 1-t^n et que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 N(1-t^n).
Il en découle que, l'entier Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif, lorsque n décrit l'ensemble des entiers naturels, a autant de diviseurs que l'on veut.
C'est à dire que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif selon le premier lemme.
Et puisque n est une variable, on aura forcément t=1.
Ainsi a=b, dans ce cas aussi.
-Conclusion:
Dans les deux cas, on a démontré que a=b.
CQFD.
Sauf erreur.
Ta solution me parrait juste , j'ai juste quelques ambiguités vers la fin , Comment t'as trouvé que n(1-t^n ) a le nombre de diviseurs que l'on veut ? ( je pense que pour chaque n on a un certain diviseur ... ce qui ne veut pas dire qu'il a le nombre de diviseurs que l'on veut parce que ca depend de n ).
j'aimerais bien savoir ce que tu penses . Amicalement Smile

En effet, le nombre n(t^n-1) admet un diviseur ( à notre connaissance ) qui est b^n+n ... et non une infinité.
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diablo902
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 EmptyVen 11 Nov 2011, 09:32

Probleme 46 :
Une machine à sous accepte des pièces 1, 10 et 25 kunas. Si l'on insère une pièce de
1 kuna, la machine rend une pièce de 10 kunas. Si l'on insère une pièce de 10 kunas, elle
rend une pièce de 1 kuna et une pièce de 25 kunas. Enn, si l'on insère une pièce de 25
kunas, elle donne deux pièces de 10 kunas.
Initialement, on dispose d'une pièce de 10 kunas. Après un certain nombre de parties,
on a en main exactement 100 pièces de 1 kuna, ainsi que d'autres pièces. Quelle est le plus
bas montant possible de la fortune ainsi accumulée ?
Bonne chance Wink
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 EmptyVen 11 Nov 2011, 14:48

Solution au problème 46:
On note K l'unité Kuna. D'après l'énoncé nous avons droits aux opérations suivantes :"
"1K => 10K", "10K=>1K+25K" et "25K=>2*10K". On nomme ces opérations par (1), (2) et (3) respectivement. La seule opération qui permet de décroisser le nombre de pièces est l'opération (3). Maintenant on va chercher les étapes où on obtient uniquement des pièces de "1K" et de "25K". On note x_n l'état des pièces à l'étape (n) contenant uniquement les pièces de valeur 1K et 25K.
Après des tentatives pour n=1,2,3 .. on se rend compte que la relation récurrente recherchée est : (x_n) : (2^n -1).(1K) +(2^{n-1}).(25K)
On le démontre par récurrence :
-Pour n=1 c'est vérifié.
- Hérédité :
On remarque tout d'abord l'implication suivante : 25K=>2*10K=>2*1K +2*25K
Ainsi x_(n+1) : ((2^n-1)*(1K) +2^{n-1}(2*1K+2*25K)=(2^{n+1}-1)*1K+2^{n}*25K.
Ce qui achève la preuve de récurrence.
On considère maintenant l'étape 6 : nous avons donc 63 pièces de 1K et 32 pièces de 25K = 63*1K +18*25K+14*25K=>63*1K+36*1K+50*25K=>99*1K+100*10K=>99*1K+
99*10K+1K+25K=>100*1K+25K+99*10K=>100*1K+2*10K+99*10K=>100*1K+101*10K
Et donc la valeur minimale est 1110K.
On remarque que cette somme ne peut être minorée par aucune opération.
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diablo902
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 EmptyVen 11 Nov 2011, 17:13

Mehdi.O : Résultat juste méthode "je sais pas" Suspect
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nmo
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 EmptyVen 11 Nov 2011, 22:41

rimele a écrit:
Mr Nmo je cherche pas á t'attaque mais bon c'est correct et je le repete mille fois voici une demonstration claire:(je note sqrt(2)=a)
si a^a est rationnel c'est terminer;si non on a : (a^a)^a=exp(a*ln(a^a))=exp(a*a*ln(a))=exp(2ln(a))=exp(ln(a^2))=exp(ln(2))=2..
C'est faux. Puisque tu n'est pas convaincu, je te conseille d'utiliser ta propre calculatrice...
Mehdi.O a écrit:
En effet, le nombre n(t^n-1) admet un diviseur ( à notre connaissance ) qui est b^n+n ... et non une infinité.
A part ce que j'ai avancé, l'entier t est constant, tandis que b ne l'est pas.
On a trouvé que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 N(1-t^n).
Et puisque: Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif, il 'esnsuit que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 1-t^n.
Et lorsqu'on fera tendre b et n vers Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif, on aura forcément: Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.
Cela implique que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif, ou bien Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.
Et par conséquent, on a aussi Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.
J'attends comme d'habitude vos remarques.
rimele a écrit:
problème 45;
Soit P(x)=ax^3+bx ,on dit que le couple (a,b) est n-gentil si :
pour tout k et m de IN : n divise P(m)-p(k) ==> n divise m-k
on dit que le couple (a,b) est trés gentil si il est n-gentil pour une infinité de valeurs de n.
1) trouver un couple (a,b) qui est 51-gentil mais pas tres gentil!
2)prouver que tout les 2010-gentil sont trés gentil..
Prière de ne rien proposer tandis que cet exercice n'a pas de solution.
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 EmptyVen 11 Nov 2011, 23:41

nmo a écrit:
rimele a écrit:
Mr Nmo je cherche pas á t'attaque mais bon c'est correct et je le repete mille fois voici une demonstration claire:(je note sqrt(2)=a)
si a^a est rationnel c'est terminer;si non on a : (a^a)^a=exp(a*ln(a^a))=exp(a*a*ln(a))=exp(2ln(a))=exp(ln(a^2))=exp(ln(2))=2..
C'est faux. Puisque tu n'est pas convaincu, je te conseille d'utiliser ta propre calculatrice...
Mehdi.O a écrit:
En effet, le nombre n(t^n-1) admet un diviseur ( à notre connaissance ) qui est b^n+n ... et non une infinité.
A part ce que j'ai avancé, l'entier t est constant, tandis que b ne l'est pas.
On a trouvé que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 N(1-t^n).
Et puisque: Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif, il 'esnsuit que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 1-t^n.
Et lorsqu'on fera tendre b et n vers Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif, on aura forcément: Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.
Cela implique que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif, ou bien Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.
Et par conséquent, on a aussi Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.
J'attends comme d'habitude vos remarques.
rimele a écrit:
problème 45;
Soit P(x)=ax^3+bx ,on dit que le couple (a,b) est n-gentil si :
pour tout k et m de IN : n divise P(m)-p(k) ==> n divise m-k
on dit que le couple (a,b) est trés gentil si il est n-gentil pour une infinité de valeurs de n.
1) trouver un couple (a,b) qui est 51-gentil mais pas tres gentil!
2)prouver que tout les 2010-gentil sont trés gentil..
Prière de ne rien proposer tandis que cet exercice n'a pas de solution.
Oui ,bien j'avais juste mal compris au début.
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rimele
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 EmptySam 12 Nov 2011, 09:11

Afin de vous convaincre Mr Nmo je vais vous donner ce lien ^^:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%5Csqrt2%5E%7B%5Csqrt2%7D%29%5E%7B%5Csqrt2%7D
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diablo902
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 EmptySam 12 Nov 2011, 11:19

nmo a écrit:
rimele a écrit:
Mr Nmo je cherche pas á t'attaque mais bon c'est correct et je le repete mille fois voici une demonstration claire:(je note sqrt(2)=a)
si a^a est rationnel c'est terminer;si non on a : (a^a)^a=exp(a*ln(a^a))=exp(a*a*ln(a))=exp(2ln(a))=exp(ln(a^2))=exp(ln(2))=2..
C'est faux. Puisque tu n'est pas convaincu, je te conseille d'utiliser ta propre calculatrice...
Mehdi.O a écrit:
En effet, le nombre n(t^n-1) admet un diviseur ( à notre connaissance ) qui est b^n+n ... et non une infinité.
A part ce que j'ai avancé, l'entier t est constant, tandis que b ne l'est pas.
On a trouvé que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 N(1-t^n).
Et puisque: Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif, il 'esnsuit que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 1-t^n.
Et lorsqu'on fera tendre b et n vers Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif, on aura forcément: Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.
Cela implique que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif, ou bien Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.
Et par conséquent, on a aussi Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Gif.
J'attends comme d'habitude vos remarques.
rimele a écrit:
problème 45;
Soit P(x)=ax^3+bx ,on dit que le couple (a,b) est n-gentil si :
pour tout k et m de IN : n divise P(m)-p(k) ==> n divise m-k
on dit que le couple (a,b) est trés gentil si il est n-gentil pour une infinité de valeurs de n.
1) trouver un couple (a,b) qui est 51-gentil mais pas tres gentil!
2)prouver que tout les 2010-gentil sont trés gentil..
Prière de ne rien proposer tandis que cet exercice n'a pas de solution.
momo1729 vous a donné la réponse en 6 lignes http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=56&t=444693
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diablo902
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 EmptyMar 15 Nov 2011, 20:56

EDIT : Un peu d'organisation Cool


Dernière édition par diablo902 le Mer 23 Nov 2011, 19:18, édité 1 fois
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 EmptyMer 23 Nov 2011, 13:02

Misterayyoub a écrit:
Ce que j'ai fait moi une fois arrivé à b^n + n l n ( 1-t^n ) , c'est déduire que n(1-t^n ) >= b^n + n >= 0 d'ou t^n<= 1 donc t= 1 .

Comment ça ?
n(1-t^n) peut-être négative .. et donc tu ne peux pas passer à l'implication que t'as cité, ce serait faux.

Sporovitch a écrit:
Je vous propose un exo enfin si vous voulez:
Montrer qu'il existe 2 nombres irrationels a et b tq a^b soit rationel.

Il ne faut pas à mon humble avis de se limiter à donner un petit exemple et finir. Ce problème, pour qu'il soit au niveau du travail, il doit être résolu analytiquement, qu'en pensez vous ?
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Nayssi
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 EmptyMer 23 Nov 2011, 17:58

Sporovitch a écrit:
Je vous propose un exo enfin si vous voulez:
Montrer qu'il existe 2 nombres irrationels a et b tq a^b soit rationel.

Prenons a= V(2)
Prenons b= V(2)
si a^b est rationnel c'est fini.
Sinon a^b est irrationnel
Et donc on pose A=a^b
Posons B=V(2)
Alors A^B=2 qui est rationnel.
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 10 Empty

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Préparations aux olympiades de Terminale (2012)
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