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 Préparations aux olympiades de Terminale (2012)

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momo1729
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 EmptySam 10 Déc 2011, 15:15

L'exercice de rimele :
rimele a écrit:
problème 45;
Soit P(x)=ax^3+bx ,on dit que le couple (a,b) est n-gentil si :
pour tout k et m de IN : n divise P(m)-p(k) ==> n divise m-k
on dit que le couple (a,b) est trés gentil si il est n-gentil pour une infinité de valeurs de n.
1) trouver un couple (a,b) qui est 51-gentil mais pas tres gentil!
2)prouver que tout les 2010-gentil sont trés gentil..
est enfin résolu !
En fait, il s'agit d'un IMO 2010 shortlist dont le corrigé est disponible ici.
Si vous le voulez bien, voici le nouveau problème que je vous propose :


Problème 47 :
Trouver toutes les fonctions continues Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif telles que pour tous Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif réels :
Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 05de91e96915136ce13441e20abed5054e1d47b4
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 EmptyDim 11 Déc 2011, 10:06

momo1729 a écrit:
L'exercice de rimele :
rimele a écrit:
problème 45;
Soit P(x)=ax^3+bx ,on dit que le couple (a,b) est n-gentil si :
pour tout k et m de IN : n divise P(m)-p(k) ==> n divise m-k
on dit que le couple (a,b) est trés gentil si il est n-gentil pour une infinité de valeurs de n.
1) trouver un couple (a,b) qui est 51-gentil mais pas tres gentil!
2)prouver que tout les 2010-gentil sont trés gentil..
est enfin résolu !
En fait, il s'agit d'un IMO 2010 shortlist dont le corrigé est disponible ici.
Si vous le voulez bien, voici le nouveau problème que je vous propose :


Problème 47 :
Trouver toutes les fonctions continues Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif telles que pour tous Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif réels :
Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 05de91e96915136ce13441e20abed5054e1d47b4

Spoiler:
 
quelq'un peut poster probleme ....
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momo1729
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 EmptyDim 11 Déc 2011, 10:48

Ta solution me semble tout à fait correcte, az360.
Si vous le voulez bien, je vous propose un nouveau problème.
Soit x,y, et z des réels strictement positifs.
Prouver que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 F4964542dae864d3a1240b27c1186309a63ac732
Pour information, cette inégalité admet entre autres une preuve en une seule ligne.


Dernière édition par momo1729 le Dim 11 Déc 2011, 11:44, édité 1 fois
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diablo902
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 EmptyDim 11 Déc 2011, 11:24

Edit : Pas problème momo 1729


Dernière édition par diablo902 le Dim 11 Déc 2011, 11:50, édité 2 fois
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momo1729
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 EmptyDim 11 Déc 2011, 11:44

Excusez-moi, j'ai fait une erreur dans l'énoncé Rolling Eyes .
Il est à présent corrigé.
Et désolé diablo902 Embarassed
Pour information, l'inégalité que j'avais proposé était venait de Iran TST 1996 et était loin d'être évidente Sad
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diablo902
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 EmptyDim 11 Déc 2011, 12:44

Cette inégalité est un peu facile:
Spoiler:
 
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momo1729
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 EmptyDim 11 Déc 2011, 13:08

Ta solution est juste.
Je n'ai pas de problème à proposer pour le moment.
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Misterayyoub
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 EmptyDim 11 Déc 2011, 13:13

momo1729 a écrit:
Excusez-moi, j'ai fait une erreur dans l'énoncé Rolling Eyes .
Il est à présent corrigé.
Et désolé diablo902 Embarassed
Pour information, l'inégalité que j'avais proposé était venait de Iran TST 1996 et était loin d'être évidente Sad
Est ce que tu es sur qu'il s'agit de iran tst 1996 Rolling Eyes
Spoiler:
 
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Misterayyoub
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 EmptyDim 11 Déc 2011, 13:29

Sinon je pense qu'il ya une petite généralisation de l'inégalité qu'a poster momo ,
Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif
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diablo902
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 EmptyDim 11 Déc 2011, 13:47

Problème 49 :(Korea 1998)
Spoiler:
 


Dernière édition par diablo902 le Ven 16 Déc 2011, 12:06, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 EmptyDim 11 Déc 2011, 17:14

Misterayyoub a écrit:
momo1729 a écrit:
Excusez-moi, j'ai fait une erreur dans l'énoncé Rolling Eyes .
Il est à présent corrigé.
Et désolé diablo902 Embarassed
Pour information, l'inégalité que j'avais proposé était venait de Iran TST 1996 et était loin d'être évidente Sad
Est ce que tu es sur qu'il s'agit de iran tst 1996 Rolling Eyes
Spoiler:
 
Il l'a proposé f lowl apres il edite leur poste .
Spoiler:
 
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nmo
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 EmptyVen 16 Déc 2011, 19:02

diablo902 a écrit:
Problème 49 :(Korea 1998)
Soit I le centre du cercle inscrit du triangle ABC
Prouvez Que : Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif
Je présente ma solution à cet exercice:
*Je commence tout d'abord par la démonstrattion de quelques égalités qui vont m'aider pendant la démonstration:
Soient X, Y et Z les projetés orthogonaux de I sur (AC), (CB) et (BA) respectivement.
On pose ainsi: AX=x, CY=y et BZ=z.
Selon Ravi, il est bien clair que AZ=x, CZ=y et BY=z.
On a aussi AB=AZ+BZ=x+z, BC=BY+CY=z+y et CA=CX+AX=z+x.
Soit r le rayon du cercle inscrit à ABC.
-On est obligé maintenant à écrire r en fonction de x, y et z.
On a Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif, selon la formule de héron.
Et puisque: Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif, la formule donnant la surface demeure: Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.latex?S=\sqrt{(x+y+z), ou encore: Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.latex?S=\sqrt{(x+y+z).x.y.==>(1)
De plus, on sait que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.latex?S=\frac{AB+BC+CA}{2}.r=(x+y+z).==>(2)
De 1 et 2, il vient que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.latex?\sqrt{(x+y+z).x.y.z}=(x+y+z), donc Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.latex?\sqrt{xyz}=\sqrt{x+y+z}, soit en résumé Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif ou bien Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
-On a aussi selon le théorème de phytagore dans les triangles AIX, CIY et IBZ respectivement: Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif, Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif et Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
*Maintenant, je reviens à l'inégalité proposée que je traite par équivalence successives:
On a Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
Equivaut à Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
Equivaut à Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
Equivaut à Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
Equivaut à Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
Afin de simplifier l'écriture, on pose encore x+y+z=p, xy+yz+zx=q et xyz=r.
On a l'identité remarquable Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
Donc Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
L'inégalité s'écrit donc Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
Soit en multipliant par p: Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
Qui équivaut à Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
Qui n'est autre que l'inégalité de shur.
Ce qui veut bien dire que l'inégalité à démontré a été démontrée.
L'égalité aura lieu si x=y=z, ainsi AB=BC=CA.
C'est à dire lorsque ABC est un triangle équilatéral.
CQFD.
J'attends vos remarques et une confirmation.
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nmo
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 EmptyVen 16 Déc 2011, 19:21

Je propose deux nouveaux exercices, pour relancer le jeu:
Problème 50:
Soient Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif, Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif, Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif et Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif des polynômes vérifiant la relation: Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.latex?(\forall x\in\mathbb{C}): P(x^5)+x.Q(x^5)+x^2.R(x^5)=(x^4+x^3+x^2+x+1).
1) Montrez que 1 est une racine du polynôme Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
2) 1 et-il une racine des polynômes Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif et Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif?
Problème 51:
Déterminez le plus petit polynôme (qui a le plus petit degré) dont les coefficient sont des entiers relatifs, et dont le nombre complexe Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.latex?\alpha=3^{\frac{1}{3}}-i en est une racine.
Bonne chance.
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momo1729
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 EmptyDim 01 Jan 2012, 11:08

Solution au problème 51 :
Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Dd977533ed329abd2efd755b46ed619d05f4d4cePréparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 51a3221d6f7fee93f267af1189a11a3faa46fedfPréparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 5d7684a7f8f2546ef837b34e2030280dcaefd6daPréparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 6179f084b2a8990cc17c9a106d4573ba83f732d2
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momo1729
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 EmptyDim 01 Jan 2012, 18:39

Solution au problème 50 :
Soit Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 60cd539296a4c98245f89ff06ce993cdb5c82966. On a Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 B91dba1151cba6cc420524bed2d1b2a3ec30f0f6.
On a :
Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 8757e97641211bdb4cd2340611e5adb512c812cd.
Le déterminant du système formé par 3 équations quelconques des 4 ci-dessus est non-nul et il n'a donc qu'une solution : Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 3e5062cca1bd22e911f32fa50132c9c4fde67e2e
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momo1729
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 EmptyDim 01 Jan 2012, 18:42

Problème 52:
Soit Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 F4fa328254076df3c15033d43465cdec2edd79d4 un polynôme à coefficients entiers et soit Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 45e8810d6b8722c25b784b4753a32ecee41d1c89 des nombres premiers tels que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 De710dd58a61f09d0c47537c29ae61eda605ef53 pour tout i entre 1 et n.
Prouver qu'il existe un x tel que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 6dd34e04f4abde1d013bd98b7dd4cd9c9e9c4e82
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 EmptyJeu 12 Jan 2012, 15:28

momo1729 a écrit:
Problème 52:
Soit Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 F4fa328254076df3c15033d43465cdec2edd79d4 un polynôme à coefficients entiers et soit Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 45e8810d6b8722c25b784b4753a32ecee41d1c89 des nombres premiers tels que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 De710dd58a61f09d0c47537c29ae61eda605ef53 pour tout i entre 1 et n.
Prouver qu'il existe un x tel que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 6dd34e04f4abde1d013bd98b7dd4cd9c9e9c4e82
Je présente ma solution:
Je commence par considérer le système de congruences suivant:
Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
Ce système admet une solution d'après le théorème chinois.
On remarque tout d'abord les lemmes suivants, dont la démonstration me semble triviale:
Lemme 1:
Soit q un nombrer premier et a un entier.
Si Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 P(a), alors on a Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 P(a+n.
Lemme 2:
Soit p et q des nombres premiers et b un entier.
Si Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 P(b) et Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 P(b), alors Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 P(b).

Soit M la solution du système de congruences.
On a Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 P(x_1), donc on aura Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 P(M) selon le lemme 1.
On aura de même Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 P(M), ... et Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 P(M).
Et vu que les entiers Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif, Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif, ..., et Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif sont premiers, on aura forcément Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 P(M).
Ce qui répond au problème.
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yasserito
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 EmptyDim 22 Jan 2012, 15:49

Spoiler:
 

Svp je n'ai pas arrivé a comprendre le deuxieme lemme: si p/x^m on a p/x .
Est que p est premier? si c'est le cas c'est juste sinon je ne pense pas que ce lemme est juste pour tout p de IN.
Contre-exemple:9/3^2 mais 9 ne divise pas 3.
Excusez la banalité de ma question mais je voudrais avoir une clarification sur la véracité de ce lemme.
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yasserito
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 EmptyDim 22 Jan 2012, 16:00

Je crois qu'on doit ajouter une condition: p doit être inférieure à x , condition qui n'est pas présente ni dans votre passage de b/a^b --à-- b/a car du faite que (b^n+n)/(a^n+n) on a b<a
ni dans votre passage de n/a^n a n/a car a ne peut pas etre postérieur à n quelque soit ce derniere dans IN....
J'attends vos remarques sur ce sujet svp !
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nmo
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 EmptyMar 24 Jan 2012, 14:47

yasserito a écrit:
Spoiler:
 
Svp je n'ai pas arrivé a comprendre le deuxieme lemme: si p/x^m on a p/x .
Est que p est premier? si c'est le cas c'est juste sinon je ne pense pas que ce lemme est juste pour tout p de IN.
Contre-exemple:9/3^2 mais 9 ne divise pas 3.
Excusez la banalité de ma question mais je voudrais avoir une clarification sur la véracité de ce lemme.
Oui, tu as raison.
P doit être un entier premier.
yasserito a écrit:
Je crois qu'on doit ajouter une condition: p doit être inférieure à x , condition qui n'est pas présente ni dans votre passage de b/a^b --à-- b/a car du faite que (b^n+n)/(a^n+n) on a b<a
ni dans votre passage de n/a^n a n/a car a ne peut pas etre postérieur à n quelque soit ce derniere dans IN....
J'attends vos remarques sur ce sujet svp !
Oublie cette solution mon cher, je pense qu'on a eu une réponse parfaite pour ce problème autre que celle-là.
Prière de chercher là-bas quelque part.
Logiquement, on doit passer à un autre exercice. (Je prends l'initiative de chercher un)
Je veux savoir si quelqu'un a eu la convocation à Rabat parce qu'il ne reste que peu de temps.
Je me demande encore si quelqu'un sait les résultats de chaque région.
Merci d'avance.
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momo1729
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 EmptyMar 24 Jan 2012, 15:57

Vous pouvez contacter Mr. Moussaoui (moussaoui359@gmail.com) pour des détails sur les noms des admis.
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nmo
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 EmptyMar 24 Jan 2012, 20:42

Je propose ces deux exercices afin de se préparer pour les stages:
Problème 53:
N est un entier de 20 chiffres tel que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif soit un entier.
Quel est cet entier?
Problème 54:
Soient m et n deux entiers strictement positifs tel que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
Montrez que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
Bonne chance.
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diablo902
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 EmptyMar 24 Jan 2012, 21:14

Solution au problème 53:
Spoiler:
 
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yasserito
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 EmptyMar 24 Jan 2012, 21:37

Solution au problème 53:
Spoiler:
 
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nmo
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de Terminale (2012)   Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 EmptyJeu 02 Fév 2012, 12:14

nmo a écrit:
Problème 54:
Soient m et n deux entiers strictement positifs tel que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
Montrez que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
Voici ma solution:
---L'idée de la résolution repose sur le fait de remarquer que si un entier k vérifie Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif, alors on a forcémént: Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
*L'hypothèse de départ implique que: Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif, et ainsi Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
*Supposons qu'on a l'égalité: Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif, et démontrons que cela mène vers une contradiction.
On sait que quelquesoit l'entier p, on a Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif ou Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
C'est à dire Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif ou Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.==>(1)
Et Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif ou Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.==>(2)
De (1) et (2), on trouve que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif ou Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif ou Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
Tandis que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
D'où l'impossibilité de cette égalité.
*Supposons qu'on a l'égalité: Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif, et démontrons que cela mène vers une contradiction comme dans le cas dernier.
On sait que quelquesoit l'entier p, on a Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif ou Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif ou Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif
C'est à dire Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif ou Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif ou Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.==>(3)
Et Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif ou Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif ou Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.==>(4)
De (3) et (4), on trouve que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif ou Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif ou Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif ou Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif ou Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
Tandis que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
D'où l'impossibilité de cette égalité.
*Synthèse:
On a démontré que Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
---On a Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
Donc Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
Et par conséquent Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.==>(5)
D'autre part, on a Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif ou encore Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.==>(6)
De (5) et (6), il vient Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
Donc Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif. Et finalement Préparations aux olympiades de Terminale (2012) - Page 11 Gif.
---CQFD.
Sauf erreur.
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