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 test d'entrée au tutorat des maths français exo 4 (seconde)

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rim hariss
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rim hariss

Féminin Nombre de messages : 524
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MessageSujet: test d'entrée au tutorat des maths français exo 4 (seconde)   test d'entrée au tutorat des maths français exo 4 (seconde) EmptyJeu 14 Déc 2006, 18:05

Soit A l'ensemble {1,2,3,4}.
Combien existe-t-il d'applications f de A dans A, telles que pour tout x appartient à A, f(f(f(x)))=x ?

Attention : ce qu'on demande n'est pas une formule pour calculer !
Une application est définie par sa valeur en 1, sa valeur en 2,
sa valeur en 3 et sa valeur en 4.
Si deux formules donnent les mêmes valeurs en 1,2,3 et 4, ce sont la même application sur l'ensemble A.
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schwartz
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MessageSujet: Re: test d'entrée au tutorat des maths français exo 4 (seconde)   test d'entrée au tutorat des maths français exo 4 (seconde) EmptyJeu 28 Déc 2006, 07:09

le signe "!=" veut dire "different"

les applications de A dans A qui satifaient la condition f^3 = id, sont des bijections, donc ce sont des permutations de l'ensemble A (que je noterai S(A)), or l'ensemble des permutations de A est un groupe fini de cardinal 4! = 24.


lemme : f est une solution de l'equation avec f != id, ssi il existe un unique x de A tel que f(x) = x.

Preuve :
1) supposons que f est une solution de l'equation, et differente de id.

f étant differente de id, elle ne peut conserver qu'au maximum 2 element, supposons qu'elle n'en conserve aucun, cad {x de A/f(x) = x} est vide.

alors pour tout x de A f(x) != x,
soit x un element de A donc f(x) != x
f^2(x) != f(x) et
x = f^3(x) != f^2(x)
donc x,f(x) et f^2(x) sont 2 a 2 different, soit
Y = {x,f(x),f^2(x)}
considérons alors Z = A\Y, on sait que card(Y) = 3, et
card(A) = 4, et Y est inclus dans A, donc Z={z} avec z un element de A.
calculons f(z), f(z) != z donc f(z) est un element de Y, or pour tout element y de Y, f^-1(y) est un element de Y donc z appartient a Y, ce qui est contradictoire avec Z=A\Y.

C/C 1: f doit au moins conserver un element.

Supposons maintenat que f conserve 2 element de A, cad card{x de A/ f(x) = x} = 2.
alors f est une transposition Ti,j (i != j)(elle ne fait que permuter deux elements de A), or pour tout i et j (i != j) de A
Ti,j^3(i) = j != i, alors f^3 != id ce qui est absurde.

C/C 2: f ne peut conserver 2 element

C/C : il existe un unique x de A tel que f(x) = x CQFD.

2) supposons qu'il existe un unique x tel que f(x) = x.

soit Z = A\{x} et z un element de Z.

alors f(z) != z et f^2(z) != f(z) et f^3(z) != f^2(z) (car f(z) != f(x) = x et f^2(z) != f^2(x) = x)

si f^2(z) = z, soit {y} = A\{x,z,f(z)}
on f(y) != f(x)
f(y) != f(z)
f(y) != f^2(z) = z

donc f(y) = y d'ou y =x ce qui est absurde

C/C 1: f^2(z) != z

calculons f^3(z).
on a A = {x,z,f(z),f^2(z)}.
or f^3(z) != f^3(x) = x et f^3(z) != f^2(z) et f^3(z) != f(z) (car f^2(z) != z)
Donc f^3(z) = z.

alors pour tout element z de Z f^3(z) = z et donc pour tout x de A f^3(x) = x d'ou f^3 = id.
C/C f est solution de l'equation CQFD.
-----------------------------------------------
Il suffit donc de compter les applications qui ne conserve qu'un seul element de A, ce qui revient a chaque fois de fixer un element et de chercher les permutations sur les trois autres qui ne conservent aucun element, ca en fait deux pour chaque element (c pas la peine de faire une demonstration car c evident et en plus g sommeil)

et donc ca fait 8 applications + l'identité ce qui fait au total 9 applictions qui resolvent l'equation.

PS : merci rim pour le problème j'y ai travaillé pendant 2h.
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botmane
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MessageSujet: Re: test d'entrée au tutorat des maths français exo 4 (seconde)   test d'entrée au tutorat des maths français exo 4 (seconde) EmptyMar 10 Avr 2007, 14:06

t en kel niveau schwartz jai pas compri ta methode(je suis en niveau tronc commun)
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badr
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MessageSujet: Re: test d'entrée au tutorat des maths français exo 4 (seconde)   test d'entrée au tutorat des maths français exo 4 (seconde) EmptyMar 10 Avr 2007, 14:18

on utilise le produit de descart
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pilot_aziz
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MessageSujet: Re: test d'entrée au tutorat des maths français exo 4 (seconde)   test d'entrée au tutorat des maths français exo 4 (seconde) EmptySam 14 Avr 2007, 11:51

rim hariss a écrit:
Soit A l'ensemble {1,2,3,4}.
Combien existe-t-il d'applications f de A dans A, telles que pour tout x appartient à A, f(f(f(x)))=x ?

Attention : ce qu'on demande n'est pas une formule pour calculer !
Une application est définie par sa valeur en 1, sa valeur en 2,
sa valeur en 3 et sa valeur en 4.
Si deux formules donnent les mêmes valeurs en 1,2,3 et 4, ce sont la même application sur l'ensemble A.

soit f une solution
f(x)=f(y) => fofof(x)=fofof(y) => x=y
donc f est injective, et par suite f est bijective car il par de A vers A.
et alors f est une permutation de de S4 dont on peux decomposer en produit de cycles d'un facon unique.
puisque l'ordre de f est 3.
si f different de Identitié alors les ordes de ces cycle doit est 3 et donc la seule possiblité est:
f=(a b c) avec {a,b,c} de {1,2,3,4} et card{a,b,c}=3
et donc ce cas on a bien fofof(x)=x
et le nombre de possiblité est
et on l'ajoute le cas de f=identitié
c'est 9
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