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 Petit exercice de géométrie :)

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3 participants
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ali-mes
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MessageSujet: Petit exercice de géométrie :)   Petit exercice de géométrie :) EmptyDim 07 Aoû 2011, 23:33

Bonjour,

Aujourd'hui j'étais entrain de résoudre un exercice déjà présenté cette année dans les olympiades de 1ère,

Et j'ai utilisé l'idée de l'exercice pour faire celui ci, j'espère que vous allez l'apprécier:

Soit ABC un triangle acutangle, et (C) son cercle circonscrit de centre O.

On dessine les cercles (C_1) et (C_2) et (C_3) de centres respectives O_1, O_2 et O_3 tel que:

- (C_1) est tangente intérieurement au cercle (C) dans A, et tangente au côté (BC) dans A_1.

- (C_2) est tangente intérieurement au cercle (C) dans B, et tangente au côté (AC) dans B_1.

- (C_3) est tangente intérieurement au cercle (C) dans C, et tangente au côté (AB) dans C_1.

Montrer que les droites (AA_1), (BB_1) et (CC_1) sont concourantes.

Petit exercice de géométrie :) Hghghg10
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ali-mes
Expert sup



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MessageSujet: Re: Petit exercice de géométrie :)   Petit exercice de géométrie :) EmptyLun 08 Aoû 2011, 18:21

Pas de réponses ??
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az360
Expert grade2
az360


Masculin Nombre de messages : 312
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Date d'inscription : 28/11/2010

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MessageSujet: Re: Petit exercice de géométrie :)   Petit exercice de géométrie :) EmptyLun 08 Aoû 2011, 18:29

X est le centre de gravité non ??
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ali-mes
Expert sup



Masculin Nombre de messages : 986
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MessageSujet: Re: Petit exercice de géométrie :)   Petit exercice de géométrie :) EmptyLun 08 Aoû 2011, 18:42

Nopu !
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geom
Maître



Masculin Nombre de messages : 189
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Date d'inscription : 30/04/2011

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MessageSujet: Re: Petit exercice de géométrie :)   Petit exercice de géométrie :) EmptyLun 08 Aoû 2011, 19:22

tu peux poster votre solution monsieur ali.
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ali-mes
Expert sup



Masculin Nombre de messages : 986
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MessageSujet: Re: Petit exercice de géométrie :)   Petit exercice de géométrie :) EmptyLun 08 Aoû 2011, 20:27

geom a écrit:
tu peux poster votre solution monsieur ali.


Je posterai ma solution après 1heure Inchalah.

Spoiler:
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az360
Expert grade2
az360


Masculin Nombre de messages : 312
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MessageSujet: Re: Petit exercice de géométrie :)   Petit exercice de géométrie :) EmptyLun 08 Aoû 2011, 20:29

ali-mes a écrit:
geom a écrit:
tu peux poster votre solution monsieur ali.


Je posterai ma solution après 1heure Inchalah.

Spoiler:
hhhhhhhh Olah Ila J'ai doté de ce cercle inscrit hhhh j’essaie après tarawi7 inchalah
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ali-mes
Expert sup



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MessageSujet: Re: Petit exercice de géométrie :)   Petit exercice de géométrie :) EmptyLun 08 Aoû 2011, 23:33

Comme promis, voici la réponse:

Petit exercice de géométrie :) Hihihi10

On note B_2 la deuxième intersection du cerle (C_1) avec le côté (AC).

Et C_2 la deuxième intersection du cercle (C_1) avec le côté (AB).

Dans le cercle (C_1) on a: Petit exercice de géométrie :) Gif.

Dans le cercle (C) on a: Petit exercice de géométrie :) Gif.

(C_1) est intérieurement tangent au (C) dans A donc: Petit exercice de géométrie :) Gif.

Petit exercice de géométrie :) Gif. Donc: Petit exercice de géométrie :) Gif.

Petit exercice de géométrie :) Gif

Petit exercice de géométrie :) %20(BC)

(BC) est tangente à (C_1) dans A_1, donc: Petit exercice de géométrie :) Gif.

Et puisque Petit exercice de géométrie :) (BC), on conclut que: Petit exercice de géométrie :) Gif.

Et on a: Petit exercice de géométrie :) Gif.

De (1) et (2), on conclut que: Petit exercice de géométrie :) Gif.

Petit exercice de géométrie :) Gif.

Et on a: Petit exercice de géométrie :) Gif

Petit exercice de géométrie :) Gif

Petit exercice de géométrie :) Gif.

Analogiquement on montre que:

Petit exercice de géométrie :) Gif.

Et: Petit exercice de géométrie :) Gif.

D'après la théorème de la bissectrice intérieure on a:

Petit exercice de géométrie :) Gif.

Petit exercice de géométrie :) Gif.

Donc d'après la théorème de Ceva, on conclut que (AA_1), (BB_1) et (CC_1) sont concourantes.

Or, on peut déduire le dernier résultat en utilisant le fait que les bissectrices intérieures des angles d'un triangle sont concourantes dans un seul point (le centre du cercle inscrit).

Merci à ceux qui ont pris la peine de lire ma preuve,

Et je vous en prie de me signaler si vous voyez une faute (d'innatention) - car je réponds sans brouillon Razz -

J'attends vos remarques et observations.
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geom
Maître



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MessageSujet: Re: Petit exercice de géométrie :)   Petit exercice de géométrie :) EmptyMar 09 Aoû 2011, 00:51

c'est un joli solution, merci beaucoup monsieur ali.
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ali-mes
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MessageSujet: Re: Petit exercice de géométrie :)   Petit exercice de géométrie :) EmptyMar 09 Aoû 2011, 01:01

geom a écrit:
c'est un joli solution, merci beaucoup monsieur ali.

Si tu es intéressé, je connais un exercice qui utilise la même propriété.

Je peux te le donner !

En effet, voici le test d'où j'ai pris l'idée de l'exo précédant: https://mathsmaroc.jeun.fr/t17823-cinquieme-olympiade-de-premiere-22-avril-2011

(Exercice 3)
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geom
Maître



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MessageSujet: Re: Petit exercice de géométrie :)   Petit exercice de géométrie :) EmptyMar 09 Aoû 2011, 09:35

oui je veux l'exercice dont tu as parlé, et merci d'avance
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ali-mes
Expert sup



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MessageSujet: Re: Petit exercice de géométrie :)   Petit exercice de géométrie :) EmptyMar 09 Aoû 2011, 18:40

Voici l'exercice:

Soit ABC un triangle acutangle et (C) son cercle circonscrit de centre O.

On dessine un cercle (C') de centre O' tel que (C') est tangent à (C) dans A, et tangent au côté (BC) dans A_1.

On note:

- B_1 la deuxième intersection de (C') avec le côté (AC),

- C_1 la deuxième intersection de (C') avec le côté (AB),

- D la deuxième intersection de la droite (OO') avec (C'),

- E la deuxième intersection de la droite (EO') avec (C'),

- F l'intersection de (ED) avec (BO).


Montrer que: Petit exercice de géométrie :) Gif

Petit exercice de géométrie :) Illjkl10
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geom
Maître



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MessageSujet: Re: Petit exercice de géométrie :)   Petit exercice de géométrie :) EmptyMar 09 Aoû 2011, 21:01

Merci beaucoup pour les efforts monsieur ali.
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MessageSujet: Re: Petit exercice de géométrie :)   Petit exercice de géométrie :) Empty

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