nilpotent (anneau) ( classique)

voila un exo classique
soit (A,+,.),un anneau x et y deux elements de A
Montrer que si x et y sont nipoltent et permutable alors x+y et xy sont nipoltent.

x^n = 0
y^m = 0

Alors comme x et y commutent et on peut développer (x+y)^(m+n) avec la formule du binôme et tous les termes sont de la forme C*x^a*y^b avec a >= n ou b >= m et donc nuls

Toujours car x et y commutent : (x*y)^(m*n) = (x^n)^m * (x^m)^n = 0
voire même (x*y)^n = x^n * y^n = 0


Un autre exo classique :

si x est nilpotent alors 1-x est inversible

tµtµ a écrit:

Un autre exo classique :

si x est nilpotent alors 1-x est inversible

1=1-x^n=(1-x)(x^{n-1}+.................)
donc inversible