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  "progression harmonique"

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expert_run
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MessageSujet: "progression harmonique"    Dim 14 Aoû 2011, 18:58

Soient a;b et c des entiers positifs tels que: a=20 et b/c .Trouver tous les triplets (a;b;c) tel que a;b et c sont en progression harmonique.
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az360
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MessageSujet: Re: "progression harmonique"    Dim 14 Aoû 2011, 20:50

c'est quoi un progression harmonique ??? scratch
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expert_run
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MessageSujet: Re: "progression harmonique"    Dim 14 Aoû 2011, 23:01

az360 a écrit:
c'est quoi un progression harmonique ??? scratch
Des nombres (en suite) sont en "progression harmonique" si les inverses de deux termes consécutifs sont en progression arithmétique.
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manazerty
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MessageSujet: Re: "progression harmonique"    Lun 15 Aoû 2011, 02:54

salut!j'ai fait une tentative pour résoudre ce problème ,qui se base sur ce que j'ai pu comprendre dans la "progression harmonique"je crois que cela peut être faut,mais bon , j'écris qd mm ma démo:
a b et c sont en prog har donc:
1/b=1/a+r et1/c=1/a+2r
=> 1/b=1/a+r et 1/c -1/b=r
=> 1/b=1/a+r et 1/bk -1/b=r (kEN* et c=bk)
=>1/b=1/a+r et (1-k)/bk=r
=> 1/b=1/20+(1-k)/bk
=> 20k=bk+20(1-k)
=> 40 k -bk=20
=> k(40-b)=20
D 20={1,2.4.5.10.20}
donc il ne reste que le calcul: k=1 40-b=20.....
j'espère que qd 3 nombres sont en progression harmonique ça ne veut pas dire également qu'on aura affaire à une suite géométrique ,sinon si c'est le cas,alors considérez ma réponse comme un 1er cas du problème , je nai pas suffisament de temps pour continuer.j'attend vos remarques....
bonne nuit Sleep
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expert_run
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MessageSujet: Re: "progression harmonique"    Lun 15 Aoû 2011, 03:19

Bon commencement .
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manazerty
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MessageSujet: Re: "progression harmonique"    Lun 15 Aoû 2011, 17:32

bon, j'essaye maintenant avec la suite géométrique:
1/b =1/a *r et 1/c=1/a * r²
donc : r=a/b et 1/c=1/a * a²/b²
donc: r=a/b et 1/c = a/b²
donc : r=a/b et b²=ac
donc: r=a/b et b²=abk (puisque: b/c => c =Bk avec k E N*)
donc : r=a/b et b= ak
donc : r=a/b et c=ak²
donc : revenons à la première expres​sion(en rouge) ça va donner:
1/ak²=1/a *r²
donc : 1/k²=r²
donc : r² *k²=1
et on sait que :k E N* donc r E N* tq: r=1 et k=1
donc b=a=c=20
et j'attends vos remarques .
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MessageSujet: Re: "progression harmonique"    Lun 15 Aoû 2011, 18:03

manazerty a écrit:
bon, j'essaye maintenant avec la suite géométrique:
1/b =1/a *r et 1/c=1/a * r²
donc : r=a/b et 1/c=1/a * a²/b²
donc: r=a/b et 1/c = a/b²
donc : r=a/b et b²=ac
donc: r=a/b et b²=abk (puisque: b/c => c =Bk avec k E N*)
donc : r=a/b et b= ak
donc : r=a/b et c=ak²
donc : revenons à la première expres​sion(en rouge) ça va donner:
1/ak²=1/a *r²
donc : 1/k²=r²
donc : r² *k²=1
et on sait que :k E N* donc r E N* tq: r=1 et k=1
donc b=a=c=20
et j'attends vos remarques .
Pk tu essaies avec la suite géométrique ?. Ça sert à rien .
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manazerty
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MessageSujet: Re: "progression harmonique"    Lun 15 Aoû 2011, 23:19

je vois alors!je croyais qu'il fallait essayer avec les deux!pffffff!!!alors je me suis ennuyée pendant presque 10 min pour faire et recopier l'exo , mais bon c'est de ma faute.
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MessageSujet: Re: "progression harmonique"    Lun 15 Aoû 2011, 23:30

C'est pas grave .Donc je te propose la solution.
b/c ==> Il existe k€IN tq c=b.k

(1/a)+(1/(b.k))=2/b <===> k(40-b)=20=20.1=2x10=5x4
Donc les triplets sont: (On doit prendre en compte que a=<b=<c)
(20;20;20) , (20;30;60) ;(20;35;140);(20;39;780);(20;38;380);(20;36;180)
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manazerty
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MessageSujet: Re: "progression harmonique"    Lun 15 Aoû 2011, 23:54

je viens d'essayer sur mon brouillon c'et la même chose pour moi ,mais dis moi je viens de faire une remarque:
a=<b=<c ==>1/a>=1/b>=1/c
==> 1/c-1/b=<0 et 1/b -1/a=<0
==> r=<0
donc r=0
et donc a=b=c
non?
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MessageSujet: Re: "progression harmonique"    Mar 16 Aoû 2011, 00:00

manazerty a écrit:
je viens d'essayer sur mon brouillon c'et la même chose pour moi ,mais dis moi je viens de faire une remarque:
a=<b=<c ==>1/a>=1/b>=1/c
==> 1/c-1/b=<0 et 1/b -1/a=<0
==> r=<0
donc r=0
et donc a=b=c
non?
Non c'est 1/a -1/b =r>=0 et 1/b-1/c=r>=0
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manazerty
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MessageSujet: Re: "progression harmonique"    Mar 16 Aoû 2011, 00:10

tu es sûr??mais je crois que c'est plutot :
1/b=1/a +r
t'en es convaincu maintenant???

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az360
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MessageSujet: Re: "progression harmonique"    Mar 16 Aoû 2011, 00:16

manazerty a écrit:
tu es sûr??mais je crois que c'est plutot :
1/b=1/a +r
t'en es convaincu maintenant???

Evil or Very Mad c'est comme Expert... ta dit parce que : 1/a >= 1/b >= 1/c !!!
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expert_run
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MessageSujet: Re: "progression harmonique"    Mar 16 Aoû 2011, 00:19

non quand on dit que a ,b,c sont en progression harmonique donc 1/c ; 1/b; 1/a sont en progression arithmétique alors: 1/a=1/b+r ==>1/a-1/b=r>=0
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manazerty
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MessageSujet: Re: "progression harmonique"    Mar 16 Aoû 2011, 00:34

aah ouii je vois!alors dans ce cas il va falloir refaire l'exo , parce que si tu rejette un coup d'oeuil sur ma solution là dessus tu verras que moi , j'avais compris que 1/a 1/b et 1/c sont en progression arithmétique,et que je basais mes conclusions sur rien en disant que a<b<c
donc , c'est encore de ma faute, et il va falloir tout refaire! Shocked
donc moi ,je laiisse tomber; je commets des erreurs d'inattention irréparable!
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