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 Deux exos de niveau moyens .

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darkpseudo
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Masculin Nombre de messages : 817
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MessageSujet: Deux exos de niveau moyens .    Mer 24 Aoû 2011, 20:11

Bonsoir voici deux exercices de niveau abordables proposés par un ami ( qui se reconnaitra Smile ) :
Exercice 1 :
Trouvez tout les nombres premiers qui n'ont pas de multiples dans la suite défini par a_n=n²*2^(n)+1
Exercice 2 :
Prouvez que si 2+2V(28n²+1) est un entier alors c'est un carré parfait .
Et bonne soirée .
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Abdek_M
Maître
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Masculin Nombre de messages : 162
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Date d'inscription : 18/12/2009

MessageSujet: Re: Deux exos de niveau moyens .    Mar 13 Sep 2011, 17:10

Si p est un nombre premier quelconque tel que alors il existe tel que donc en choisissons on obtient si supposons qu'il existe n tel que soit un multiple de , à fortiori est impair donc ce qui implique que . réciproquement on a ainsi il existe tel que et alors pour on obtient et enfin l'ensemble des solutions

le deuxième problème est trivial puisqu'il equivaut à ou avec
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darkpseudo
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 817
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Date d'inscription : 31/10/2009

MessageSujet: Re: Deux exos de niveau moyens .    Mar 13 Sep 2011, 18:50

Joli , pour le second ça parraît un peu parachuté mais bon il était vraiment facile donc bon Smile .
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judicecharatein
Féru


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MessageSujet: Re: Deux exos de niveau moyens .    Lun 19 Sep 2011, 12:23

bonjour,pourriez vous détailler un peu plus la solution du 2 ème exo?!
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darkpseudo
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 817
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MessageSujet: Re: Deux exos de niveau moyens .    Lun 19 Sep 2011, 18:00

V(28n²+1)=a ==> 2+2V(28n²+1)=4a==> 2(2a-1)=2V(28n²+1)==>
4(4a²-4a+1)=4*(28n²+1)==>4a²-4a+1=28n²+1==>a²-a=7n²==>a=k² et a-1=7k'² ou
a=7k² et a-1=k'² le second cas est impossible car ceci voudrai dire que 7|28n²+1 .
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judicecharatein
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MessageSujet: Re: Deux exos de niveau moyens .    Lun 19 Sep 2011, 20:32

ok,merci beaucoup Smile ,juste une petite remarque, au début ,vous avez oublié de changer le a par un a' (a ->4a' ) merci en tout cas ,j'ai très bien compris maintenant cheers
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judicecharatein
Féru


Masculin Nombre de messages : 43
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MessageSujet: Re: Deux exos de niveau moyens .    Mer 19 Oct 2011, 13:31

juste une petite question, quand vous voulez résoudre un tel exo(oui je sais que vous le trouvez facile ,mais..),comment vous réfléchissez:
en posant la question: pourquoi cet entier doit être forcément un carré parfait?
comment vous pensez à la méthode, moi perso je sens que je suis mon stylo ,je n'ai pas de méthode, je continue avec des équivalence sans but Sad et cela me donne une grande impression de stupidité ,si jamais je résous un exo ,c'est par chance Sad help please!!
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darkpseudo
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 817
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MessageSujet: Re: Deux exos de niveau moyens .    Mer 19 Oct 2011, 19:00

Tu bosses , même si tu tombes dessus par chance une première fois bein après quand il y aura une idée similaire ( même très vaguement ) t'aura une bonne intuition et après t'aura de plus en plus de bon réflexes faut juste pas se jeter sur la solution de l'exo dès qu'on l'as lu et essayer de le faire toujours .
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judicecharatein
Féru


Masculin Nombre de messages : 43
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Date d'inscription : 19/09/2011

MessageSujet: Re: Deux exos de niveau moyens .    Jeu 20 Oct 2011, 12:31

merci ,lire ce que tu m'as écris me fait vraiment du bien Smile et je suivrais ton conseil :-)
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supista
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Masculin Nombre de messages : 39
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Date d'inscription : 05/10/2010

MessageSujet: Re: Deux exos de niveau moyens .    Lun 24 Oct 2011, 12:44

Bonne démonstration Abdek_M, juste une remarque:on a 2^n*n^2=-1 (modp) donc :

(2^n*n^2/p )=(-1)^{(p^2-1)/2} et pas besoin d'utiliser la formule d'Euler pour (2/p)
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darkpseudo
Expert sup


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Date d'inscription : 31/10/2009

MessageSujet: Re: Deux exos de niveau moyens .    Sam 19 Nov 2011, 16:30

Relis bien sa preuve Smile ( remarque j'avais demandé les non divisibles, mais bon ) .
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MessageSujet: Re: Deux exos de niveau moyens .    

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