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 jolie exo:D

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l'intellectuelle
Maître


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MessageSujet: jolie exo:D   jolie exo:D EmptyLun 05 Sep 2011, 01:00

soit x,y,z trois reels strictement positifs tel que : x+y+z=1

prouvez que:
(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)>= 64
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az360
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az360

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MessageSujet: Re: jolie exo:D   jolie exo:D EmptyLun 05 Sep 2011, 03:03

solution :
on a : x+y+z=1
alors il suffit de montrer que : \produit[cyc](1+ (x+y+z)/x) >= 64
<=> \produit[cyc](x+x+y+z) >= 64xyz
d’après AM-GM on a : 2x + y+ z >= 4sqrt[4](x².y.z) .
alors on multiple les trois inégalités obtient par AM-Gm et voila le résultat se découle .
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mohamed diai
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MessageSujet: Re: jolie exo:D   jolie exo:D EmptyLun 05 Sep 2011, 10:43

l'inégalité peut se résoudre par l'inégalité de Holder:
(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)>=[1+1/(xyz)^1/3]^3
et selon I.A.G; 1/(xyz)^1/3>=3 donc l'inégalité est supérieure à 4^3=64
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l'intellectuelle
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MessageSujet: Re: jolie exo:D   jolie exo:D EmptyLun 05 Sep 2011, 20:36

Ma solution:
on a x>0 & x+y+z=1
donc 0<x<1 <=> 0<x<=1/3
<=> 1/x>= 3
<=> 1+1/x>=4
et de la meme façon on demontre ke (1+1/y)>=4 & ( 1+1/z)>=4
d'ou
(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)>=64
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l'intellectuelle
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MessageSujet: Re: jolie exo:D   jolie exo:D EmptyLun 05 Sep 2011, 20:38

si klk1 de memebres remarquerai une faute n'hesite pas a la dire dans ma solution king
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: jolie exo:D   jolie exo:D EmptyLun 05 Sep 2011, 20:50

l'intellectuelle a écrit:
Ma solution:
on a x>0 & x+y+z=1
donc 0<x<1 <=> 0<x<=1/3
<=> 1/x>= 3
<=> 1+1/x>=4
et de la meme façon on demontre ke (1+1/y)>=4 & ( 1+1/z)>=4
d'ou
(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)>=64
Bonsoir,
Désolé mais ta solution est fausse.
Sion prend par exemple x=y=1/4 et z=1/2 donc ces trois nombres vérifient la condtion x+y+z=1 et on a pas nécessairement z<=1/3 =>2>=3 ce qui donne une contradiction. J'espère que tu as saisi ta faute.
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kaj mima
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MessageSujet: Re: jolie exo:D   jolie exo:D EmptyLun 05 Sep 2011, 21:57

On a:
(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)=\sum(1/x) + \sum(1/xy) + 1/xyz +1

Par AM-GM: \sum(1/x) >= 3(1/xyz)^(1/3)
et : \sum(1/xy) >= 3 (1/xyz)^(2/3)

Donc: \sum(1/x) + \sum(1/xy) + 1/xyz +1 >= (1+ (1/xyz)^(1/3) ) ^(3)
Par AM-GM encore: (1/xyz)^(1/3) >= 3/(x+y+z) =3
d'où le résultat voulut.
Sauf erreur!
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manazerty
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MessageSujet: Re: jolie exo:D   jolie exo:D EmptyLun 05 Sep 2011, 23:11

voici une autre solution:
on a:(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)=1+ 1/x + 1/y +1/z +1/xy +1/yz + 1/zx +1/xyz
et on a:d'après IAG: (x+y+z) /3 >=(xyz)^(1/3)
donc: 1/3^3 >=xyz *
d'où: 1/xyz >=27
et on obtient également de *:
1/9^3 >=x²y²z² donc :1/x²y²z² >=9^3
d'où: (1/x²y²z² )^1/3>=9 et d'après IAG sum(1/xy)>=3(1/x²y²z² )^1/3
donc: sum(1/xy)>=3.9=27
et on a: d'après CS: sum (1/x) >=9
donc: 1+sum (1/x) +sum( 1/xy)+1/xyz >=64
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mohamed diai
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MessageSujet: Re: jolie exo:D   jolie exo:D EmptyMar 06 Sep 2011, 11:30

voici une autre solution:
l'inégalité est équivalente à [(x+1/x)(y+1/y)(z+1/z)]^1/3>=4
selon les 2 moyennes géométriques et harmonique:
[(x+1/x)(y+1/y)(z+1/z)]^1/3>=3/(x/x+1 + y/y+1 +z/z+1) {1}
x/x+1 + y/y+1 +z/z+1=3-(1/x+1 + 1/y+1 +1/z+1) {2}
et (x+1+y+1+z+1)(1/x+1 + 1/y+1 +1/z+1)>=9 <=> 1/x+1 + 1/y+1 +1/z+1>=9/4 {3}
avec 1,2 et 3 le résultat en découle
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rimetta
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rimetta

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MessageSujet: Re: jolie exo:D   jolie exo:D EmptyDim 16 Oct 2011, 09:46

comment ca les moyennes harmoniques et geometriques ?
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Eugéne bilal
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MessageSujet: Re: jolie exo:D   jolie exo:D EmptyMer 21 Déc 2011, 15:17

bonjour;
AZ360 a dit:
solution :
on a : x+y+z=1
alors il suffit de montrer que : \produit[cyc](1+ (x+y+z)/x) >= 64
<=> \produit[cyc](x+x+y+z) >= 64xyz
d’après AM-GM on a : 2x + y+ z >= 4sqrt[4](x².y.z) .
alors on multiple les trois inégalités obtient par AM-Gm et voila le résultat se découle .

je voudrais bien savoir qu'est ce que un produit cyclique
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Soukaina Amaadour
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Soukaina Amaadour

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MessageSujet: Re: jolie exo:D   jolie exo:D EmptySam 24 Déc 2011, 22:51

Hey répondez à la question de Rimetta : comment ça les moyennes harmoniques et geometriques ???
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az360
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MessageSujet: Re: jolie exo:D   jolie exo:D EmptySam 24 Déc 2011, 23:03

Eugéne bilal a écrit:
bonjour;
AZ360 a dit:
solution :
on a : x+y+z=1
alors il suffit de montrer que : \produit[cyc](1+ (x+y+z)/x) >= 64
<=> \produit[cyc](x+x+y+z) >= 64xyz
d’après AM-GM on a : 2x + y+ z >= 4sqrt[4](x².y.z) .
alors on multiple les trois inégalités obtient par AM-Gm et voila le résultat se découle .

je voudrais bien savoir qu'est ce que un produit cyclique
le produit cyclique de a+b est (a+b)(b+c)(c+a)
et le produit cyclique de 2a+b² est (2a+b²)(2b+c²)(2c+a²) ...
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legend-crush
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MessageSujet: Re: jolie exo:D   jolie exo:D EmptyDim 17 Mar 2013, 10:22

jolie exo:D Gif_la40
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legend-crush
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MessageSujet: t   jolie exo:D EmptyDim 17 Mar 2013, 10:33

Soukaina Amaadour a écrit:
Hey répondez à la question de Rimetta : comment ça les moyennes harmoniques et geometriques ???
Moyenne arithmétique: jolie exo:D Gif_la41
moyenne géometrique: jolie exo:D Gif_la42
moyenne quadratique: jolie exo:D Gif_la43
moyenne harmonique: jolie exo:D Gif_la44
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aminesm
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MessageSujet: Re: jolie exo:D   jolie exo:D EmptyVen 28 Fév 2014, 00:16

c'est quel niveau ca??
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legend-crush
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MessageSujet: Re: jolie exo:D   jolie exo:D EmptyVen 28 Fév 2014, 09:05

Niveau Olympiades ^^ , ce sont des inégalités qu'on enseigne pas mais qu'il est meilleur de savoir si on veut aller en olympiades Very Happy
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aminesm
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MessageSujet: Re: jolie exo:D   jolie exo:D EmptyVen 28 Fév 2014, 13:47

normalement meme les olampyades sont destinés a un niveau scolaire specifique non ? :p
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elidrissi
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elidrissi

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MessageSujet: Re: jolie exo:D   jolie exo:D EmptyVen 28 Fév 2014, 14:43

pas vraiment. ca n'a generalement aucune relation avec les cours. juste selon la difficultee. un eleve de TC peut facilement resoudre un exo pour olymp de 2eme bac. generalement il a le bagage necessaire
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MessageSujet: Re: jolie exo:D   jolie exo:D Empty

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