Epreuve 5:

Problème 1:
Soient A;B;C et D quatre points de l'espace .AB est la distance entre A et B et ainsi de suite .
Prouver que:

Problème 2:
Déterminer toutes les fonctions f: IR --> IR tq:

Problème 3:
Prouver que pour:

Problème 4:
Trouver tout les entiers a;b;c appartenant à IP l'ensemble des nombre premier tq:
ab+bc+ca >abc

Durée 3h ... Bonne chance.

Mes Solutions :
Le problème 1 est trivial. Le deuxième est déjà traité dans le marathon.
Solution au problème 3:
Nous avons : .
Ainsi il suffit de prouver que : .
D'autre part nous avons : .
Ainsi :
.
D'où la conclusion.

Solution au problème 4:
L'inégo est équivalente à : 1/a+1/b+1/c >1.
Supposons que a,b,c>=3 Donc 1/a+1/b+1/c<=1/3+1/3+1/3=1 . Contradiction !!
Ainsi forcément l'un d'eux est égal à 2.
Par symétrie on suppose que a=2.
Donc : 2b+2c+bc>2bc => 2b+2c>bc=>b(2-c)+2(c-2)+4>0=>(c-2)(2-b)>-4 =>(b-2)(c-2)<4.
Si b=2 ou bien c=2 alors l'inégo est vérifiée. Supposons maintenat que b,c>=3 alors si b=3 donc c=3 ou bien c=5. De même pour c=3 donc b=3 ou bien b=5.
Maintenant si b,c>=5 alors 4>LHS>9. Contradiction.
Synthèse: Les triplets solutions sont donc (2,2,p)(p premie quelconque ) (2,3,5),(2,3,3) et toutes ses permutations symétriques.

pour le pb N1
on peut reporter le pb de l espace vers le plane. ça se vois facilement a l aide d une rotation du point C auteur de l axe (AB) . c est un cercle de centre H (la projection orthogonale de C sur (AB). la distance DC prend son maximume lorsque (DC) coupe (AB).
et si A ,B,C et D sont sur le meme plane c est facile a voir la demonstration.