fonction

f fonction continue et décroissante sur IR . Démontrer que : il existe un seul c contient à IR : f(c)=c

Salut

Quelques idées :

-> l'unicité est assurée par le théorème de bijection, donc il faut que f soit strictement décroissante je pense.

-> je me place dans l'intervalle [a,b] de R, avec a différent de b et avec f([a,b])=[a,b] (sinon je ne vois pas trop pourquoi l'assertion serait vraie)

-> on considère alors la fonction g définie par g(x)=f(x)-x qui est continue en tant que somme de fonctions qui le sont. On a : g(a)=f(a)-a=b-a (car f décroissante) et g(b)=f(b)-b=a-b (car f décroissante)
Donc g(a)g(b)=-(a-b)²<0. D'après la propriété de Cauchy, on en déduit qu'il existe un c dans ]a,b[ tel que g(c)=0 soit f(c)=c. L'unicité est assurée par le théorème de bijection (g continue et strictement décroissante en tant que somme de fonctions strictement décroissantes)

Voilà

merci

Je t'en prie !

mmmm..Je crois que tu as pris un cas tres speciale monsieur ''redemption'' .
Ben pour ma solution on a :
f est bijective de IR vers]lim+oo f(x),lim-oo f(x)[
si f(IR)=]a,b[ alors on a en considerent h tel que h(x)=f(x)-x
lim+oo h(x)=-oo et lim -oo h(x)=+oo
Alors on peut trouver un A et B de IR tel que h(A)<0 et h(B)>0 alors il existe un seul c de IR tel que f(c)=c.
si f(IR)=]a,+oo[ ((((ou f(IR)=]-oo,b[))))
on a lim +oo h(x)=-oo et lim -oo h(x)=+oo +oo=+oo
de meme on trouve qu' il existe un seul c de IR tel que f(c)=c.
si f(IR)=]-oo,+oo[
meme chose on a lim +oo h(x)=-oo-oo=-oo et lim -oo h(x)=+oo +oo=+oo
Synthèse:
f fonction continue et décroissante sur IR =>il existe c unique de IR tel que f(c)=c

chamitos007 a écrit:

f fonction continue et décroissante sur IR . Démontrer que : il existe un seul c contient à IR : f(c)=c

C'est surprenant ce Forum !!!
Vous répondez à un problème déjà posé par le même auteur ICI :

https://mathsmaroc.jeun.fr/t18477-fonction#158189

Allez donc y faire un tour et vous verrez les réponses et jugerez de leur pertinence .

Un Mauvais Point pour chamitos007 !!!

Salut yasserito

Dans mon raisonnement, j'ai considéré [a,b] un segment quelconque de R. Comme ça marche pour tout segment [a,b] de R, alors c'est vrai sur R tout entier. J'aurai dû le préciser.

Et finalement on a pas besoin que la fonction soit strictement décroissante : juste décroissante suffit : on suppose qu'il existe c_1 et c_2 distincts tels que f(c_1)=c_1 et f(c_2)=c_2
Si c_1<c_2, alors f(c_1)>f(c_2) car f décroissante et donc c_1>c_2 d'où la contradiction.
De même si c_1>c_2.
On a donc c_1=c_2

Rédemption a écrit:

Salut yasserito

Dans mon raisonnement, j'ai considéré [a,b] un segment quelconque de R. Comme ça marche pour tout segment [a,b] de R, alors c'est vrai sur R tout entier. J'aurai dû le préciser.......

DSL de te le faire constater !!
Ton segment [a,b] n'est pas N'IMPORTE QUOI .... Tu imposes que f([a,b])=[a,b]
Je te cite :
<< -> je me place dans l'intervalle [a,b] de R, avec a différent de b et avec f([a,b])=[a,b] (sinon je ne vois pas trop pourquoi l'assertion serait vraie) >>

Or ce n'est pas toujours vrai .....

Exact, tu as raison, désolé d'avoir insisté ... la prochaine fois je me relierai 5 ou 6 fois ^^

C pas grave !, mmm... pr ma solution proposée y'a t'il qqch de faux ,qqch que je dois rectifier ou qqch mal redigée?

yasserito a écrit:

C pas grave !, mmm... pr ma solution proposée y'a t'il qqch de faux ,qqch que je dois rectifier ou qqch mal redigée?

La Démo que tu as suggérée ne souffre d'aucune anomalie ....
Sauf qu'elle est '"lourde" à cause de la Disjonction des Cas que tu envisages .
Dans le Lien que j'ai donné dans mon Post plus haut , j'avais suggéré une Ossature de Démonstration que darkpseudo a finalisé en répondant aux questions que j'ai posé .

En ce qui concerne la rédaction , chacun a sa manière d'exposer et écrire et je me garderais de critiquer !!!

salam.*
je pense que tout a été fait,
f soit strictement décroissante.
on pose g(x)=f(x)-x.
étude de g plus le théorème des valeurs intermédiaire fera l'affaire.

TANMIRT