moyenne de Césaro

MQ :si Un--->+infini alors (sigma(de 1 à n) Ui/n) --->+infini (moyenne de Césaro)

Salut Fermat-X, merci pour l'exo :

Hypothèse :

u_n -> +oo implique que pour tout A réel, il existe N_1 entier non nul tel que pour tout i > N_1, u_i > A+1


Calcul :

Soit n > N_1, on a :

1/n * sum(i=1..n) u_i

= 1/n * sum(i=1..N_1) u_i + 1/n * sum(i=N_1+1..n) u_i

> 1/n * sum(i=1..N_1) u_i + (n-N_1)/n * (A+1)

> A+1 + 1/n * sum(i=1..N_1) (u_i-(A+1))

Or, sum(i=1..N_1) (u_i-(A+1)) est constant car N est fixé, donc 1/n * sum(i=1..N_1) (u_i-(A+1)) tend vers 0 quand n tend vers +infini.

Donc il existe un N_2 entier tel que pour tout n > N_2, 1/n * sum(i=1..N_1) (u_i-(A+1)) > -1

Donc pour n > N_2, on a :

1/n * sum(i=1..n) u_i > A+1-1=A donc 1/n * sum(i=1..n) u_i tend aussi vers +infini quand n tend vers +infini

Sauf erreurs.

A+