exo:limites

Etudier l'existence des limites des expressions suivantes:

(√3cosx-sinx)/(x-(pi/3)) en PI/3
sin 1/x e^(cosx) en + l'infini
(tan(pi x/(2x+1))^1/x en + l'infinit

merci

salam:

on pose f(x)=√3cosx-sinx.

on a f(TT/3)=0.

donc √3cosx-sinx)/(x-(pi/3))=(f(x)-f(TT/3))/(x-TT/3)------> f'(TT/3) en TT/3.

pr tt x£IR , f'(x)=-√3sin(x)-cos(x).

f'(TT/3)=-√3(√3/2)-1/2= -2.

d'ou :lim (√3cosx-sinx)/(x-(pi/3))=-2
x-->TT/3

tanmirt

Salut,

Pour la seconde, tu peux écrire :

sin(1/x)=1/x+o(1/x) au voisinage de x=+infini donc sin(1/x)exp(cos(x))=(1/x+o(1/x))exp(cos(x))

Or lim(x->+inifni) [1/x+o(1/x)]=0 et la fonction x->exp(cos(x)) est bornée pour tout x dans R.

Donc lim(x->+infini) sin(1/x)exp(cos(x))=0

Pour la troisième, j'ai pris : tan[(xPi/(2x+1))^(1/x)]

Dans ce cas, j'ai : (xPi/(2x+1))^(1/x)=Pi^(1/x)*(x/(2x+1))^(1/x)

Or, (x/(2x+1))^(1/x)=exp[(1/x)ln(x/(2x+1))] ->exp(0)=1 quand x->+infini

et Pi^(1/x)=exp((1/x)ln(Pi))->1 quand x->+infini

D'où limit(x->+infini) tan[(xPi/(2x+1))^(1/x)]=tan(1)