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 Matrice réelle annulée par un polynôme, de rang pair

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Dijkschneier
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MessageSujet: Matrice réelle annulée par un polynôme, de rang pair   Matrice réelle annulée par un polynôme, de rang pair EmptySam 29 Oct 2011, 16:08

Salut,
1) Soit A une matrice de M_n(R) telle que A^3 + A² + A = 0. Montrer que A est de rang pair.
2) Proposez une généralisation
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MessageSujet: Re: Matrice réelle annulée par un polynôme, de rang pair   Matrice réelle annulée par un polynôme, de rang pair EmptySam 29 Oct 2011, 17:48

1) Le polynôme est scinde a racines (0,j,j*) simples dans C donc A est diagonalisable dans C.
on a A est une matrice réelle donc j et j* ont même multiplicité. Le rang de A est la somme des multiplicités de j et j* (car la seule autre valeur propre est 0) et donc rgA est pair.
J'ai juste un doute sur le fait que le rang de A dans C est égal à son rang dans R.

pour la généralisation il suffit que A admette un polynôme annulateur scindé à racines simples ayant 0 comme racine et les autres racines deux à deux conjuguées. Peut-être qu'on peut généraliser d'avantage.
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Matrice réelle annulée par un polynôme, de rang pair   Matrice réelle annulée par un polynôme, de rang pair EmptySam 29 Oct 2011, 18:55

Smile
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MessageSujet: Re: Matrice réelle annulée par un polynôme, de rang pair   Matrice réelle annulée par un polynôme, de rang pair EmptySam 29 Oct 2011, 20:53

Affirmation ? infirmation ? ironie ?
Si vous pouvez confirmer la généralisation et justifier que le rang de A dans C est égal à son rang dans R ce serait parfait. Si ce qui a été dit est juste biensur ...
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Matrice réelle annulée par un polynôme, de rang pair   Matrice réelle annulée par un polynôme, de rang pair EmptySam 29 Oct 2011, 23:30

Non... En quoi un visage souriant laisse-t-il présumer de l'ironie ? Ne divaguons pas dans les interprétations compliquées, LOL.
Oui c'est en effet juste et je te confirme le point sur lequel tu as un doute, en ajoutant pour l'info que les propriétés liées à la similitude, le rang et au polynôme caractéristique de matrices à coefficients dans un corps sont transportées dans un surcorps et réciproquement.
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Othmaann
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MessageSujet: Re: Matrice réelle annulée par un polynôme, de rang pair   Matrice réelle annulée par un polynôme, de rang pair EmptyDim 30 Oct 2011, 15:17

De la simple paranoia Smile
Hum ... puisque tu parles de similitudes je te propose cet exercice :

Soit A,B de M_n(R)
Montrer que si A et B sont semblables dans M_n(C) alors elles sont aussi semblables dans M_n(R).
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Matrice réelle annulée par un polynôme, de rang pair   Matrice réelle annulée par un polynôme, de rang pair EmptyLun 31 Oct 2011, 20:01

C'est quand même ce dont je parlais en disant "propriétés...similitude...transportées...surcorps...réciproquement".
La preuve procède je crois par séparation de parties réelles et imaginaires et analyse de cas avec utilisation de la finitude des valeurs propres.
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MessageSujet: Re: Matrice réelle annulée par un polynôme, de rang pair   Matrice réelle annulée par un polynôme, de rang pair EmptyMar 01 Nov 2011, 19:16

1)
supposons par l'absurde que le rg(A)=n est impair
donc le polynôme caractéristique de A qui est de degré égal a "n" admet au moins une racine dans IR(car rang(A)=n qui est impair),donc le spectre de A est non vide (I)
D'autre part soit P(x)=x^2+x+1
on a P(A)=0, donc P est un polynôme annulateur de A
par conséquent, le spectre de A est inclus dans l'ensemble des racines de P dans iR
or p N'admet pas de racines dans iR, donc le spectre de A est vide (II)
(I)+(II) donne l’absurdité
Ainsi rg(A)=n est pair
2) on a rg(A)=n=2*p, p appartient a IN
le polynome caracteristique de A s ecrira Q(x)=(x^2+x+1)^p
mouha@@@@@@@@@@@
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