det(M+N)=det(M) lorsque N est nilpotente et commute avec N

Soient M et N de M_n(C). On suppose que N est nilpotente et que MN = NM.
Montrer que det(M + N) = det M.

Vu qu'on est dans C et M et N commutent , ils sont cotrigonalisables. comme N est nilpotente sa diagonale est nulle et on conclue.
On peut montrer que la diagonale est nulle de plusieurs manières. En caractérisant la trace des puissances ou en procédant par récurrence.L'initialisation est évidente , supposons le résultat vrai au rang n-1. Par l'absurde supposons qu'une des valeurs propres a est non nulle et x un vecteur propre associé , c'est vrai aussi pour l'application transposé on passe a l'orthogonal de vect(x) qui est un hyperplan stable et on utilise l'hypothèse de récurrence.
Sauf erreur bien entendu.

Oui et limite, la première ligne aurait suffi (sa diagonale est nulle dans la base de cotrigonalisation)