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 applications & Ensembles urgent

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l'intellectuelle
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MessageSujet: applications & Ensembles urgent   Mer 02 Nov 2011, 16:43

soit E une enesemble et f application tel que
f : P(E) ==>Rplus
et on a (A (x,y) appartient à P(E)² )( X n Y =l'ensemble vide implique que f(X U Y) = f(X) +f(Y) )
1 determine f(l'ensemble vide )

N.B
A kelkesoit
n ta9ato3
2 montre ke
(A (x,y) appartient à P(E)² ) : (f( X U Y) = f(X)+ f(Y) - f(X n Y)
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ZYGOTO
Féru


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MessageSujet: Re: applications & Ensembles urgent   Mer 02 Nov 2011, 20:15

1) pour X=ensvide et Y=ensvide

et puisque ensvide n ensvide = ensvide ==> f(ensvide U ensvide)=f(ensvide)+f(ensvide)
c à dire f(ensvide)=2f(ensvide)
donc: f(ensvide)=0

N.B : ensvide = l'ensemble vide
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houssa
Expert sup


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MessageSujet: Re: applications & Ensembles urgent   Jeu 03 Nov 2011, 11:41


salam

pour 2-

si XnY = Z , u=union

A=X- Z = les éléments de X en dehors de Z


alors XuY = AuY

AnZ = vide

f(X)= f(A)+ f(Z)


f(AuY)=f(XuY)

f(A)+f(Y)=f(XuY)

f(X)-f(Z)+f(Y) =f(XuY)

f(X)+f(Y)-f(XnY) = f(XuY)

____________________________________

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ZYGOTO
Féru


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MessageSujet: Re: applications & Ensembles urgent   Jeu 03 Nov 2011, 14:33


voici une 3éme question pour la recherche

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Ali Zulfikar
Féru


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MessageSujet: Re: applications & Ensembles urgent   Jeu 03 Nov 2011, 14:44

ZYGOTO a écrit:

voici une 3éme question pour la recherche


BJR ....
Sans aucune hypothèse sur f Question Question
Voir ICI :
http://www.mathsland.com/Forum/lire-message.php?forum=6&identifiant=c3786a77a2986be7008ac4d90b9572c0
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Ali Zulfikar
Féru


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MessageSujet: Re: applications & Ensembles urgent   Jeu 03 Nov 2011, 14:46

l'intellectuelle a écrit:
soit E une enesemble et f application tel que
f : P(E) ==>Rplus
et on a (A (X,Y) appartient à P(E)² )( X n Y = VIDE implique que f(X U Y) = f(X) +f(Y) )

2 montre ke
(A (X,Y) appartient à P(E)² ) : (f( X U Y) = f(X)+ f(Y) - f(X n Y)

BJR ...

Soit E un ensemble non vide de référence . Si A est une partie de E , on notera A* son complémentaire dans E qui peut être
notée aussi E\A ( dans certains ouvrages ).
Si X et Y sont deux parties quelconques de E alors il existe une PARTITION de {X union Y} en trois
sous ensembles :

U={X inter Y*} , V={Y inter X*} et {X inter Y}
Celà veut dire que les TROIS ensembles précédents sont 2 à 2 disjoints et leur réunion nous donne
{X union Y}.
En outre l'ensemble {U union V} s'appelle la DIFFERENCE SYMETRIQUE de X et Y et il est souvent noté
{X delta Y}

On a toujours X={X inter Y } union U et Y= {X inter Y} union V
Comme X,Y , U et V sont 2à2 disjoints alors :
f(X)=f(X inter Y)+f(U)
f(Y)=f(X inter Y)+f(V)
f(X union Y)=f(X inter Y)+f(U union V) (*)
f(U union V)=f(U)+f(V)

On en déduit que :
f(X)+f(Y)=2.f(X inter Y)+f(U)+f(V) par addition des deux premières relations .
d'ou f(U)+f(V) =f(X)+f(Y)- 2.f(X inter Y)

qui donne en lui ajoutant (*) :
f(X union Y)=f(X)+f(Y)- f(X inter Y)

Je ne peux pas terminer sans te donner un exemple d'une telle application f , surtout que
vous la connaissez bien !!
Si E est un ensemble non vide et ayant un nombre fini d'éléments :
L'application f de P(E) dans IR+ définie par f(X)=Card(X)=Nombre d'éléments de X .
vérifie complètement les hypotèses de ton exo et on retrouve la relation classique :
Card(X union Y)=Card(X) + Card(Y) - Card(X inter Y)

Amicalement .

PS : Mon BJR à Mr houssa .... J'avais préparé cette réponse hier mais tu es passé entre-temps !! Aid Moubarrak Said pour Toi & Famille en Tunisie .
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ZYGOTO
Féru


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MessageSujet: Re: applications & Ensembles urgent   Jeu 03 Nov 2011, 16:01

Ali Zulfikar a écrit:
ZYGOTO a écrit:

voici une 3éme question pour la recherche


BJR ....
Sans aucune hypothèse sur f Question Question
Voir ICI :
http://www.mathsland.com/Forum/lire-message.php?forum=6&identifiant=c3786a77a2986be7008ac4d90b9572c0

biensur , f de P(E) à valeurs dans IR+ , comme dans l'énoncé de l'exercice
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Ali Zulfikar
Féru


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MessageSujet: Re: applications & Ensembles urgent   Sam 05 Nov 2011, 08:35

BJR ....

On suppose bien sûr que f est ADDITIVE dans le sens suivant :
Si X et Y sont deux parties de E , disjointes alors f(X union Y)=f(X)+f(Y)

L'idée c'est d'évaluer f(E) sous deux écritures différentes en utilisant DEUX PARTITIONS
distinctes de E .
Soient donc X et Y deux éléments quelconques de P(E) .
A* désigne le complémentaire de A , partie de E , par rapport à E .

1ère PARTITION de E : {X\Y} , {Y\X} , {X inter Y} et {X union Y}*
qui donne
f(E)=f(X\Y)+f(Y\X)+f(X inter Y)+f({X union Y}*)

On sait que X={X\Y} union {X inter Y} et que Y={Y\X} union {X inter Y}
Comme il s'agit de partions alors :
f(X\Y)=f(X)-f({X inter Y}) et f(Y\X)=f(Y)-f({X inter Y})
En conclusion ( en remplaçant ) :

f(E)=f(X)+f(Y)-f(X inter Y)+f({X union Y}*)

2ème PARTITION de E : {X inter Y} ; {X inter Y}*
qui donne
f(E)=f({X inter Y}) + f({X inter Y}*)

AU FINAL :

f(E)=f(X)+f(Y)-f(X inter Y)+f({X union Y}*)=f({X inter Y}) + f({X inter Y}*)

d'ou

f(X)+f(Y) + f({X union Y}*) = 2.f({X inter Y}) + f({X inter Y}*)

Amicalement .

PS1: c'est aussi celle que J'ai donnée ICI
http://www.mathsland.com/Forum/lire-message.php?forum=6&identifiant=c3786a77a2986be7008ac4d90b9572c0
PS2: Aid Moubarrak Said à Toi & Famille !!
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