- l'intellectuelle a écrit:
- soit E une enesemble et f application tel que
f : P(E) ==>Rplus
et on a (A (X,Y) appartient à P(E)² )( X n Y = VIDE implique que f(X U Y) = f(X) +f(Y) )
2 montre ke
(A (X,Y) appartient à P(E)² ) : (f( X U Y) = f(X)+ f(Y) - f(X n Y)
BJR ...
Soit E un ensemble non vide de référence . Si A est une partie de E , on notera A* son complémentaire dans E qui peut être
notée aussi E\A ( dans certains ouvrages ).
Si X et Y sont deux parties quelconques de E alors il existe une PARTITION de {X union Y} en trois
sous ensembles :
U={X inter Y*} , V={Y inter X*} et {X inter Y}
Celà veut dire que les TROIS ensembles précédents sont 2 à 2 disjoints et leur réunion nous donne
{X union Y}.
En outre l'ensemble {U union V} s'appelle la DIFFERENCE SYMETRIQUE de X et Y et il est souvent noté
{X delta Y}
On a toujours X={X inter Y } union U et Y= {X inter Y} union V
Comme X,Y , U et V sont 2à2 disjoints alors :
f(X)=f(X inter Y)+f(U)
f(Y)=f(X inter Y)+f(V)
f(X union Y)=f(X inter Y)+f(U union V) (*)
f(U union V)=f(U)+f(V)
On en déduit que :
f(X)+f(Y)=2.f(X inter Y)+f(U)+f(V) par addition des deux premières relations .
d'ou f(U)+f(V) =f(X)+f(Y)- 2.f(X inter Y)
qui donne en lui ajoutant (*) :
f(X union Y)=f(X)+f(Y)- f(X inter Y)
Je ne peux pas terminer sans te donner un exemple d'une telle application f , surtout que
vous la connaissez bien !!
Si E est un ensemble non vide et ayant un nombre fini d'éléments :
L'application f de P(E) dans IR+ définie par f(X)=Card(X)=Nombre d'éléments de X .
vérifie complètement les hypotèses de ton exo et on retrouve la relation classique :
Card(X union Y)=Card(X) + Card(Y) - Card(X inter Y)
Amicalement .
PS : Mon BJR à Mr houssa .... J'avais préparé cette réponse hier mais tu es passé entre-temps !! Aid Moubarrak Said pour Toi & Famille en Tunisie .
Accueil 
