Soit f la fonction définie sur l’intervalle [2∏,13∏/6] : f(x)=cos(2x)+2sin(x)-1 ]
1-montrer que f est une bijection de I vers un intervalle J qu’il faut préciser
2-calculer f^(-1) (x) pour tout x de J
3-trouvez le nombre de solution pour l’équation : m f^(-1) (x)- ∏=0
Solution proposée :
Pour la première question , f est continue sur I et pour sa monotonie on calcule sa dérivée qui est égale à :f’(x)=-2sin(2x)+2cos(x)=-4cos(x)sin(x)+2cos(x)=2cos(x)(1-2sin(x))
Pour tout x de l’intervalle I sin(x) appartient a l’intervalle [ 0,1/2]et cos(x) est positive
Donc f’ est positive sur i alors f est strictement monotone sur I on en déduit alors que f est une bijection de I vers son image par f qui est égale à [ 0,1/2]
Pour la bijection réciproque il suffit de résoudre l’équation f(x)=y tel que x appartient à I et y à J ,après calcul j’aurais pour tout x de J f^(-1) (x)=arcsin((1-√(1-2y))/2)
C’est la troisième question qui cause des problèmes étant donnée que l’expression de la réciproque est assez compliquée , j’ai préféré travailler avec f ce qui donnera :
Si on a m=0 on obtient -∏=0 ce qui est faut alors il n’y a pas de solution mais si m est non nul l’équation peut s’écrire sous forme : f^(-1) (x)= ∏/m
On faisnt entrer f sur les deux cotes c’est equivalent à
X=f(∏/m) est pour que cela soit possible ∏/m doit appartenir à Df ce qui donnera m comprise entre 6/13 et ½ et dans ce cas il y’aura une seule solution pour chaque m puisque f est une bijection
Et si ∏/m n’appartient pas à Df alors ça sera 0 solution
Voila, j’espère que vous pourriez me dire si mon raisonnemnt est juste
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