problème N°60 de la semaine (18/12/2006-24/12/2006)

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Solution postée./.

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki attioui
Bonjour
Le grand cercle inscrit est de rayon a/(2r(3)). (r(3)= racine de 3)
Une hauteur du grand triangle est ar(3)/2.
Cette hauteur passe par les centres des 3 cercles et par le
point où le cercle moyen et le grand cercle se touchent.
En traçant la perpendiculaire à cette hauteur passant par ce point,
le cercle moyen serait inscrit dans un triangle équilatéral de hauteur
ar(3)/2-a/r(3)=a/2r(3) ( équilatéral car semblable au grand triangle)
==> le côté de ce triangle est a/3
==> le rayon du cercle moyen est a/6r(3)
En refait le même raisonnement, le rayon du petit cercle est a/18r(3)
La surface est (a²/12+a²/36+a²/18²)pi=37a²pi/324

A+

Bonjour!
Solution postée.
A+
Kendor.

Bonjour
Solution postée
voici la solution de floyd.pink7
Bonjour


Le triangle est équilatéral de côté a, donc ses hauteurs sont de longueur (rac(3)/2)a et se confondent avec les médianes et les bissectrices.
L'intersection des médianes se trouve à 1/3 de leur longueur.
L'intersection des bissectrices donne le centre du cercle inscrit.
Donc le cercle central a un rayon R1 = (rac(3)/6)a.
Sa surface vaut donc S1 = Pi*R1^2 = Pi*(a^2)/12.

On imagines 3 triangles équilatéraux homothétiques au permier, contenant les 3 cercles de dimension intermédiare. Leur hauteur est R1 (par propriété des médianes), on calcule par Pythagore que leur côté vaut a/3. Donc l'homothétie est de rapport 1/3.
Donc l'aire d'un petit cercle intermédiaire vaut S2 = S1/3^2 = Pi*(a^2)/108.

On fait de même pour les cercles les plus petits, qui ont alors une aire S3 = S2/9 = Pi*(a^2)
/972.

Au total on a S1 + 3*S2 + 3*S3 = (111/972)*Pi*a^2


Salutations

floyd.pink7

soolution postée
voici la solution deRockabdels

Le grand cercle est le circonscrit du tringle de coté a, on calcule la
hauteur du triangle :
H= Rac(a²-1/4a²)= rac 3 /2 a

Le triangle est équilatéral, d’où le rayon du grand cercle rouge est :
R1=1/3H=rac3/6 a
La surface du grand cercle rouge :

S1= 3Pi/36 a²

Le cercle moyen est le circonscrit du triangle de hauteur rac5/6 a,
donc le
rayon du cercle moyen est
R2=rac3/18 a
La surface du triangle moyen est
S2=3Pi/3²36 a²

Le petit cercle est le circonscrit du triangle de hauteur rac5/18 a,
donc le
rayon du petit cercle est
R3= rac3/54 a

La surface du petit triangle
S3=3Pi/9²36 a²

La surface rouge
S= S1 +3 S2+ 3S3
= 37/324 Pi a²

slt j'ai posté la solution présédente et rien n'étai ajouté
solution non trouvée parmis mes mails (administration)

Solution postee
voici la solution de pivot gauss
S1 aire du grand cercle
S2 aire du cercle suivant
S3 aire du plus petit cercle
S aire totale cherchée

S1=(pi.a²)/12
S2=(pi.a²)/972
S3=(pi.a²)/78732
S= S1+3.S2+3.S3=(pi.a²)/10

Solution postée.
voici la solution de Adrien

salut
solution postée
voici la solution de selfrespect
posons S1 et S2 et S3 les surfaces des cercles (du + grand au plus petit respectivement) et X la surface rouge on a
X=S1+3S2+3S3
S1=µa²(3'/6)² (3'=racine(3) et µ=pi)
S2=µa²/(3'/1²
S3=µa²/(3'/54)²
donc X=µa²(1/12+3(3/36+3/18²+3/54²)
X=µa²(1/12+1/36+1/(9*36))
X=37a²µ/324

Sollution postée !
à+

Bonjour
solution postée
voici la solution de khamaths
Bonjour samir

notons C1;C2 et C3 respectivement les trois cercles :inscrit au triangle (ABC);tangeant àC1 aupoint H;tangent à C2 au point K.

(*)Determination de la surface S1 du cercle C1:

On sait que: S = pr / S= surface du tringle équilatéral (ABC) de périmètre 3a.et dont la hauteur h=a*racine(3)/2
p = 3a/2
r= rayon de C1
=====> r = a / [2racine(3)]
=====> S1 =pia²/12

(*)détérmination de S2:

traçons la tangeante (T) aux cercles C1 et C2 au point H;elle coupe [BC] et [AC] respectivement aux points B' et A'.
(T) // (AB) ===> le triangle (A'B'C) est équilatéral de périmètre 3b dont le cercle inscrit est C2 dont la hauteur h' = h -2r = r
=====> b = a/3
======> S2= pib²/12 = pi a²/108

(*) on fait de même pour obtenir S3 = pi a²/972

Conclusion:
La surface en question est: St = S1 + 3 (S2 +S3 ) = 37pia²/324

salam :
solution postée .
voici la solution d'aissa
salam alikom aidkom mobarak said mes meillieurs voeux de santé et de succès pours tous les membres du forum des amateurs des maths.
le rayon du grand cercle est a sqrt(3)/6 , du moyien est : a sqrt(3)/18 et du patit est : a sqrt(3)/54.
donc S=a²pi*(37/324) u.m
"ce qu'on apprend par plaisir on ne l'oublie jamais".
"le miellieur moyen d'apprendre est de s'exercer''

bonjour
solution postée
voici la solution d'abdeilah
bonjour
Notons par S_0 la surface du plus grand cercle, S_1 celle du moyen et S_2 celle du plus petit.
on rapportant le plan a un repère orthonormé adéduat on retrouve les coordonnés du centre de gravite du triangle qui est le centre du cercle inscrit, G(0,a/2.sqrt3)
ainsi : S_0 = pi/12 * a^2
Thales donne que les traingle ou les les autres cercles sont inscrit sont aussi equilatéraux , la meme demarche donne S_1 =pi/12*9 * a^2
et S_2 = pi/12 * a^2/81.
Enfin la surface cherché est S=S_0 + 3S_1 + 3S_2 = (37.pi.a^2) /324.
a+
abdelilah