Aide pour les futurs mathématiciens
 
AccueilAccueil  PortailPortail  FAQFAQ  RechercherRechercher  S'enregistrerS'enregistrer  Connexion  

Partagez | 
 

 f continue+injective=>f strictement monotone?

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Aller en bas 
AuteurMessage
naplhitl
Féru


Féminin Nombre de messages : 61
Age : 22
Date d'inscription : 16/11/2009

MessageSujet: f continue+injective=>f strictement monotone?   Ven 04 Nov 2011, 16:15

montrer que si f est continue et injective sur[a,b] alors f est strictement monotone sur [a,b]
Revenir en haut Aller en bas
amazigh-tisffola
Expert grade1
avatar

Masculin Nombre de messages : 487
Age : 33
Localisation : kelaa m'gouna
Date d'inscription : 01/10/2010

MessageSujet: Re: f continue+injective=>f strictement monotone?   Ven 04 Nov 2011, 17:02

salam:

I=[a,b]

Soit a < b deux éléments de I tel que f(a) < f(b) montrer alors que pour tout élément x de I

tel que a < x < b on a f(x) < f(a) < f(b) puis conclure que f est strictement croissante, Faites

de même pour le cas f (a) > f(b) puis conclure que f est dans tous les cas strictement

monotone sur I .

Alors on suppose que f est injective et continue sur I. On prend a < b dans I. Comme f est

injective, f(a)=/= f(b). Supposons que f(a) < f(b). Soit a < x < b. Il y a 3 possibilités pour f(x):

f(x) < f(a) < f(b) Alors le TVI dit que f(a) a un antécédent dans ]x,b[ ce qui est impossible puisque f est injective.

f(a) < f(b) < f(x) De même, le TVI dit que f(b) a un antécédent dans ]a,x[ ce qui est tout aussi impossible.

Donc seule possibilité: f(a) < f(x) < f(b).

tanmirt
Revenir en haut Aller en bas
naplhitl
Féru


Féminin Nombre de messages : 61
Age : 22
Date d'inscription : 16/11/2009

MessageSujet: Re: f continue+injective=>f strictement monotone?   Ven 04 Nov 2011, 18:01

o fait j'ai cru qu'en démontrant le résulat précédent je parviendrai à démontrer le résultat suivant:Soit f continue et définie sur [a,b] vers [a,b] montrer que f est injective et que fof est strictement croissante sur f
mais finalement peut être qu'il existe une autre manière
Revenir en haut Aller en bas
rimele
Féru


Masculin Nombre de messages : 36
Age : 23
Date d'inscription : 19/08/2011

MessageSujet: Re: f continue+injective=>f strictement monotone?   Ven 04 Nov 2011, 21:23

ou bien tu considere pour un certain c de [a,b[ les deux ensemble :
E={x>c/f(x)>f(c)} et F={x>c/f(x)<f(c)} si l un des deux ensembles est vide c est fini sinon le TVI est c est fini.
Revenir en haut Aller en bas
Ali Zulfikar
Féru
avatar

Masculin Nombre de messages : 64
Age : 31
Date d'inscription : 25/03/2011

MessageSujet: Re: f continue+injective=>f strictement monotone?   Sam 05 Nov 2011, 09:09

naplhitl a écrit:
o fait j'ai cru qu'en démontrant le résulat précédent je parviendrai à démontrer le résultat suivant:Soit f continue et définie sur [a,b] vers [a,b] montrer que f est injective et que fof est strictement croissante sur f
mais finalement peut être qu'il existe une autre manière

Mlle ... J'ai bien peur que VOUS N'Y PARVIENDREZ JAMAIS
<< je parviendrai à démontrer le résultat suivant:Soit f continue et définie sur [a,b] vers [a,b] montrer que f est injective et que fof est strictement croissante sur f >>


Depuis quand une application de [a,b] dans (ou sur) [a,b] continue ...
peut-elle être injective Question Question
Prenez donc a=0 , b=1 et f : x ----------> f(x)=x.(1-x)
pour vous en convaincre ....

Ami Calmement .

PS : rectification a=0 . C'est une ETOURDERIE toute simple ....


Dernière édition par Ali Zulfikar le Dim 06 Nov 2011, 13:48, édité 1 fois
Revenir en haut Aller en bas
naplhitl
Féru


Féminin Nombre de messages : 61
Age : 22
Date d'inscription : 16/11/2009

MessageSujet: Re: f continue+injective=>f strictement monotone?   Dim 06 Nov 2011, 06:34

A-t-on jamais vu un intervalle [1,1] ? mais bon j’ai oublié un détail c’est que fof est injective :
Alors ce que je propose pour la première étape (montrer que f est une injection),
Par l’absurde : on suppose qu’il existe c et c’ tel que f( c )=f( c’ )(c et c’ appartenant à [a,b] )puis on pose X=f( c ) et Y =f(c’) puisque l’image de c’ et de c appartient elle aussi à [a,b] on pourra déduire par X=Y que f(X)=f(Y)(X et Y appartenant à Df=[a,b] )donc au final il existe c et c’ de [a,b] tel que fof( c ) =fof( c’ ) et c différent de c’ ce qui est une contradiction avec l’énoncé (fof est injective) on en déduit donc que f est injective.
Seconde étape :montrer que si f est continue et injective alors elle est strictement monotone :
On suppose que f n’est pas strictement monotone alors il existe x,y,z de [a,b] tel que x<y<z et
F(y)<f(x) et f(y)<f(z)(c’est comme une négation de la définition de la monotonie) on pose u de [a,b] tel que f(y)<u<min(f(x),f(z))
Donc d’après TVI il esxiste c de [x,y]et c’ de[y,z] tel que f( c )=f(c’)=u (contradiction avec : f injective)
Puis troisième étape : puisque f est strictement monotone ,soit elle est strictement croissante alors fof est strictement croissante soit f est strictement décroissante alors fof est strictement décroissante(f et f sont de même monotonie et la composée de deux fonctions de même monotonie est toujours croissnte) . fin de démo qu’en pensez vous c’est juste ?
Revenir en haut Aller en bas
galois einstein
Maître
avatar

Masculin Nombre de messages : 77
Age : 22
Date d'inscription : 08/05/2012

MessageSujet: Re: f continue+injective=>f strictement monotone?   Mer 21 Nov 2012, 01:44

On doit faire appel à une démonstration par absurde et un usage du paramétrage d'un segment dans IR, pour arriver à résoudre ce problème.
Revenir en haut Aller en bas
http://facebook.com/Bne.Ayoub
Contenu sponsorisé




MessageSujet: Re: f continue+injective=>f strictement monotone?   

Revenir en haut Aller en bas
 
f continue+injective=>f strictement monotone?
Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Revenir en haut 
Page 1 sur 1
 Sujets similaires
-
» f continue+injective=>f strictement monotone?
» f continue injective ==> strictement monotone
» f , injective et continue = monotone
» Monotonie de f bijective et continue
» f continue decroissante ==> unique point fixe

Permission de ce forum:Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Forum des amateurs de maths :: Lycée :: Terminale-
Sauter vers: