Prolongement par continuité

On considere la fct f definie su ]-(Pi)/2,(Pi)/2[ par : f(x)=(1-sinx)/(sin(cosx))

1- Calculer Lim{x-->(-((Pi)/2))"Plus"} f(x) Et Lim{x-->((Pi)/2)"moins"} f(x) .
2- Montrer que f est 2(Pi)-périodique et que f(Pi-x)=-f(x). En deduire ,utilisant la Quest 1-,que l'on peut prolonger par continuité la fct f par une fct gdéfinie sur R-{-((Pi)/2)+2k(Pi);k Aprtient Z}.
3- Etudier la derivabilité de g et calculer g' .
bon Voila l'exo que j'avais du mal a le resoudre a mon exam la semaine derniere esperant que vous puissiez m'aider et merci

si c possible cher(e) amis vous pouveez m'aider ?!

1) Pour la première limite, on fait le changement de variable t = π/2+x.
Alors il nous faut calculer la limite de (1+cos(t))/sin(sin(t)) en 0+.
Or 1+cos(t) = 2+o(t²) et sin(sin(t))=sin(t+o(t²))=t+o(t²).
Donc notre limite est infinie.
Pour la deuxième limite, on fait le changement de variable t = π/2-x.
Alors il nous faut calculer la limite de (1-cos(t))/sin(sin(t)) en 0+.
Or 1-cos(t) = t²/2+o(t³) et sin(sin(t))=sin(t+o(t³))=t+o(t³).
Donc notre limite vaut 0.

2) On définit g sur ]-π/2,π/2[ par g(x) = f(x) puis en {π/2} par g(x) = 0, ce qui suffit à déduire g sur R\(-π/2+2πZ) par 2π-périodicité.

3) Le seul point où la dérivabilité de g est problématique est π/2. On doit donc évaluer la limite de (1-sinx)/(sin(cosx)(x-π/2)) en π/2-.
Par le même changement de variable précédent, on trouve que cette limite vaut 1/2.
Je te laisse le soin de calculer g'...