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 Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011]

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konica
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MessageSujet: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011]   Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] EmptyVen 09 Déc 2011, 18:30

Exercice 1 :
Résoudre le système suivant, où x,y et z sont trois nombres réels.
Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Codeco74

Exercice 2 :
k est un nombre réel qui vérifie la propriété suivante:
" pour chaque trois nombres réels strictement positifs a,b et c, si Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Codeco75 alors Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Codeco76 ". Trouver la plus grande valeur de k.

Exercice 3 :
Soient x et alpha deux nombres réels tel que: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Codeco78.
Montrer que pour tout entier naturel n, Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Codeco79.

Exercice 4 :
On considère un triangle ABC et son cercle circonscrit. D est un point de l'arc AB qui ne contient pas C, et A_1 et B_1 deux points qui appartiennent respectivement aux droites (DA) et (DB) tel que (CA_1) est perpendiculaire sur (DA) et (CB_1) est perpendiculaire sur (DB). Montrer que Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Codeco80
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A446
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MessageSujet: Re: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011]   Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] EmptyVen 09 Déc 2011, 18:37

pour le premier c'est: (4;2;4/3)
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konica
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MessageSujet: Re: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011]   Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] EmptyVen 09 Déc 2011, 18:47

Le premier : S = {(4;2;4/3)}
Le deuxième: J'ai pas fait.
Le troisième: Une récurrence + Formule de trigonométrie.
Le quatrième: Al-Kashi + Pythagore + Triangle semblables.
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Ahmed Taha (bis)
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MessageSujet: Re: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011]   Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] EmptyVen 09 Déc 2011, 18:48

salut a tous

le 1 exo x=4 y=2 et z=4/3
le 2 exo je pense que la grande valeur de k c'est sqrt(27)
le dernier exo A_1DB_1C rouba3i da2iri on fait la loi des sinus dans les triangle A_1DB_1 et ADB et on trouve la resulta
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amigo-6
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MessageSujet: Re: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011]   Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] EmptyVen 09 Déc 2011, 18:50

Svp donnez des réponses avec démonstrations la solution n est pas vraiment importante merci d avance!!
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ali-mes
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MessageSujet: Re: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011]   Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] EmptyVen 09 Déc 2011, 19:20

Solution au problème 1:
On pose a=x et b=2y et c=3z, le système devient:
Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif.latex?\dpi{100}%20\left\{\begin{matrix}%20a+b+c=12\\%20ab+ac+bc=48%20\end{matrix}\right.
On a: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif
Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif.
Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif.
Donc: x=2y=3z, et si on remplace dans la première équation, on trouve: x=4, donc: y=2 et z=4/3.
Et réciperoquement le triplet (4;2;4/3) vérifie le système, d'où l'ensemble des solutions:
Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif.

Solution au problème 3:
On va utiliser une récurrence forte:

Pour n=0, on a: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif.
Donc la relation à démontrer est vraie pour n=0.
Pour n=1, on a: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif (D'après l'énoncé).
Donc la relation de récurrence est vérifiée pour n=1.
Soit n≥1, supposons que la relation à démontrer est vraie pour le rang n-1, et pour le rang n, et montrons qu'elle est aussi vraie pour le rang n+1, d'après l'hypothèse de la récurrence, on a: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif.
Et on a: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif
Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif
Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif
Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif
Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif.latex?\dpi{100}%20=2\cos\left%20(%20\alpha%20\right%20)\left%20(%202\cos(n\alpha)%20\right%20)-2\left%20(%20\cos(n\alpha).\cos(\alpha)+\sin(n\alpha)
Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif.latex?\dpi{100}%20=2\left%20(%20\cos(n\alpha).\cos(\alpha)-\sin(n\alpha)
Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif.
Donc la relation à démontrer est vraie pour le rang n+1, et la conclusion s'en suit.

Solution au problème 4:
Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Test210
On a: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif.
Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif.
Donc le quadrilatère Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif est inscriptible. D'où:
Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif.
Et: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif.
Donc: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif.
Et, on a: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif, donc le triangle AA_1 est rectangle en A_1,
d'où: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif.
Avec égalité si l'angle CAD est droit.
Le résultat en découle...



Dernière édition par ali-mes le Jeu 15 Déc 2011, 12:43, édité 2 fois
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ali-mes
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MessageSujet: Re: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011]   Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] EmptyVen 09 Déc 2011, 19:30

Bon, pour le premier et le troisième, c'est banale, et le 3eme n'est pas même un exercice d'olympiades, à mon avis, le 4eme: c'était aussi facile, mais pas aussi trivial comme 1 et 3...
Malheureusement, j'ai fait 3/4 Rolling Eyes , j'ai perdu 1h avec le 2eme, mais en vain...

Sinon, qui a fait 4/4 ?
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amigo-6
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MessageSujet: Re: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011]   Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] EmptyVen 09 Déc 2011, 20:03

Merci ! Ali-mas
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geom
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MessageSujet: Re: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011]   Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] EmptyVen 09 Déc 2011, 20:13

ali-mes a écrit:

on a: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif
l faut d'abord monter que Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif
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amigo-6
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MessageSujet: Re: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011]   Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] EmptyVen 09 Déc 2011, 20:15

Réccurence forte Smile
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mathvic
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MessageSujet: Re: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011]   Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] EmptyVen 09 Déc 2011, 20:22

bonjour tout monde
اريد الشرح المفطل للتمرين الاول و التاني و التالت و الرابع بالعربية
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konica
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MessageSujet: Re: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011]   Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] EmptyVen 09 Déc 2011, 21:03

Va chercher! Laughing
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boubou math
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MessageSujet: Re: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011]   Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] EmptyVen 09 Déc 2011, 22:17

EXERCICE 2
Supposons que
Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif
on a ainsi avec IAG
Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif.latex?abc\leq&space;(\frac{a+b+c}{3})^3\leq&space;(\frac{k}{3})^3=k
maintenant on distingue 2 cas
si
Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif
chose qui satisfait les condition de l'énoncé (abc=<k)
maintenant si
Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif
si l'on prend a=b=c=k/3
il nous viens a+b+c=3
mais
Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif.latex?abc=(\frac{k}{3})^3=k
cela contredit ce qui énoncé d'ou ce cas est impossible
ainsi max(k)=sqrt(27)
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cocovow
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MessageSujet: Re: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011]   Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] EmptySam 10 Déc 2011, 09:03

Salut tout le monde est ce que quelqu'un peut me dire quand est ce qu'on saura si on est qualifié ou pas suite aux deux devoirs de la première étape? Merci d'avance Smile
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ali-mes
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MessageSujet: Re: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011]   Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] EmptySam 10 Déc 2011, 12:02

Une autre idée pour faire le 3eme (sans l'utilisation de la récurrence) est de remarquer que cos(α)=1...
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MessageSujet: Re: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011]   Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] EmptySam 10 Déc 2011, 12:04

ali-mes a écrit:
Une autre idée pour faire le 3eme est de remarquer que cos(α)=1...
si x positf.
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MessageSujet: Re: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011]   Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] EmptySam 10 Déc 2011, 12:55

héhéhé wach ntoma 3ba9ira wla chno xDD dak tamrin Talt t9alt m3ah dar reccurence wakha haka mal9it o 4 machft fih 7ta choufa xD o dak 3 tkhibrt 3lihom b dakmo3dal twafo9i o tarabo3i o lhandassi o l7issabi ama lawal kandir nidma
a = x
b = 2y
c = 3z
kanl 9a (a-4)(c+1) + (c-4)(b+1) + (b-4)(a+1) = 0
o safi w7al tma
kholasat l9awl lmohim lmocharaka XD héhéhé
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cocovow
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MessageSujet: Re: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011]   Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] EmptySam 10 Déc 2011, 13:00

pour l'exercice 3 il faut faire la recurrence forte, la recurrence normal ne sert absolument a rien Very Happy
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MessageSujet: Re: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011]   Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] EmptySam 10 Déc 2011, 14:30

konica a écrit:

Exercice 3 :
Soient x et alpha deux nombres réels tel que: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Codeco78.
Montrer que pour tout entier naturel n, Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Codeco79.
* si x>0: on a x=1 et Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif
* si x<0: on a x=-1 et Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Gif...
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MessageSujet: Re: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011]   Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] EmptyDim 11 Déc 2011, 09:56

wéé exactement

si x>0 x + 1/x >= 2

<=> 2cos(a) >= 2 a=(alpha)
<=> cos(a) >= 1
=> cos(a)=1
x=1

..................

si x<0 x+ 1/x <= 2
...
walakin ghadin ndiro fassl l 7alat 3la n
1er cas : n est pair.
2eme cas : n est impair .

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MessageSujet: Re: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011]   Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] EmptyDim 11 Déc 2011, 10:05

*youness* a écrit:
wéé exactement

si x>0 x + 1/x >= 2

<=> 2cos(a) >= 2 a=(alpha)
<=> cos(a) >= 1
=> cos(a)=1
x=1

..................

si x<0 x+ 1/x <= 2
...
walakin ghadin ndiro fassl l 7alat 3la n
1er cas : n est pair.
2eme cas : n est impair .

oui et on peut aussi utiliser la recurrence sans séparez les cas.
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midox3
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MessageSujet: Re: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011]   Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] EmptyDim 11 Déc 2011, 15:43

Quelqun Voudrais Bien expliqué la reponse de l'exo 1 et 3
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wentworth
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MessageSujet: Re: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011]   Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] EmptyMer 14 Déc 2011, 23:12

moi j'ai pas compris solu exo
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akliilias
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MessageSujet: Re: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011]   Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] EmptyVen 16 Déc 2011, 20:10

quand on aura la prochaine épreuve de l'olympiade
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MessageSujet: Re: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011]   Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] EmptyVen 16 Déc 2011, 21:53

Moi j'ai fait juste le premier, et celui par récurrence j'avais hesité...
sinon pour le 2 et le 4, j'avais jamais fait ce genre d'exos...
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MessageSujet: Re: Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011]   Deuxième olympiade de première [9 décembre 2011] Empty

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