Aide pour les futurs mathématiciens
 
AccueilAccueil  PortailPortail  RechercherRechercher  S'enregistrerS'enregistrer  Connexion  

Partagez
 

 x^4+y^4+z^4=?

Aller en bas 
AuteurMessage
abdelbaki.attioui
Administrateur
abdelbaki.attioui

Masculin Nombre de messages : 2558
Localisation : maroc
Date d'inscription : 27/11/2005

x^4+y^4+z^4=? Empty
MessageSujet: x^4+y^4+z^4=?   x^4+y^4+z^4=? EmptyMar 20 Déc 2005, 09:10

Bonjour. Soient x,y et z des réels tels que:

x+y+z=1
x^2+y^2+z^2=2
x^3+y^3+z^3=3

Trouver la valeur de x^4+y^4+z^4

AA++
Revenir en haut Aller en bas
http://mathsmaroc.jeun.fr/
mathman
Modérateur


Masculin Nombre de messages : 967
Age : 30
Date d'inscription : 31/10/2005

x^4+y^4+z^4=? Empty
MessageSujet: Re: x^4+y^4+z^4=?   x^4+y^4+z^4=? EmptyMar 20 Déc 2005, 10:36

Alors, on a :
x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx), d'où on tire xy+yz+zx = -1/2

Puis, de :
x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(xy+yz+zx)(x+y+z)+3xyz, on tire xyz = 1/6

Enfin :

x^4+y^4+z^4=(x^3+y^3+z^3)(x+y+z)-(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2)+xyz(x+y+z)

On a ce qu'on voulait :
x^4+y^4+z^4 = 3*1-((-1/2)*2)+(1/6*1) = 3+1+1/6 = 25/6

Very Happy
Revenir en haut Aller en bas
lamperouge
Maître
lamperouge

Masculin Nombre de messages : 133
Age : 23
Localisation : Casablanca
Date d'inscription : 13/01/2012

x^4+y^4+z^4=? Empty
MessageSujet: Re: x^4+y^4+z^4=?   x^4+y^4+z^4=? EmptyLun 16 Jan 2012, 12:11

le meme principe mais ac une autre issue
on a x+y+z=1 (1)
x²+y²+z²=2 (2)
x^3+y^3+z^3=3 (3)
(1)²=>x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz=1
=> 2(xy+xz+yz)=-1
(1)*(3)=>x^4+y^4+z^4+xy(x²+y²)+xz(x²+z²)+yz(y²+z²)=3
=>x^4+y^4+z^4+xy(2-z²)+xz(2-y²)+yz(2-x²)=3
=>x^4+y^4+z^4 +2(xy+xz+yz)-xyz(x+y+z)=3
=>x^4+y^4+z^4=4+xyz (4)
il suffit mnt de calculer xyz
(1)*(2)=> x^3+y^3+z^3+xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)=2
=>xy(1-z)+yz(1-x)+xz(1-y)=-1
=>-3xyz=-1/2
=>xyz=1/6
on remplace dans (4)
pour trouver que x^4+y^4+z^4=25/6
MAIS JE PENSE QUE TA METHODE EST LA PLUS SIMPLE
Revenir en haut Aller en bas
lamperouge
Maître
lamperouge

Masculin Nombre de messages : 133
Age : 23
Localisation : Casablanca
Date d'inscription : 13/01/2012

x^4+y^4+z^4=? Empty
MessageSujet: Re: x^4+y^4+z^4=?   x^4+y^4+z^4=? EmptyMar 29 Mai 2012, 15:18

scratch JE PENSE QU'un tel triplet n'existe po:
(x+y+z)²-2(xy+xz+yz)=2
d'ou xy+xz+yz=-1/2
ou encore (xy)²+(yz)²+(xz)²=1/4 -2(x²yz+y²xz+z²xy)
=1/4-2xyz
on a aussi (x+y+z)^3=(x+y)^3+3z(x+y)²+3z²(x+y)+z^3
d'ou x^3+y^3+z^3+3x²y+3xy²+3z(1-z)²+3z²(1-z)=1
d'ou 3xy(x+y)+3z(1-2z+z²)+3z²-3z^3=-2
(i.e) 3xy(1-z)+3z-3z²=-2
(i.e) 3xyz=2+3xy+3z-3z²
(i.e) 3xyz=2+3(xy+xz+yz)
et on trouve finalement xyz=1/6
mais on aura (xy)²+(yz)²+(xz)²=-1/12 Neutral
Revenir en haut Aller en bas
nmo
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 2246
Age : 26
Localisation : Elgara
Date d'inscription : 29/10/2009

x^4+y^4+z^4=? Empty
MessageSujet: Re: x^4+y^4+z^4=?   x^4+y^4+z^4=? EmptyDim 03 Juin 2012, 13:28

lamperouge a écrit:
scratch JE PENSE QU'un tel triplet n'existe po:
(x+y+z)²-2(xy+xz+yz)=2
d'ou xy+xz+yz=-1/2
ou encore (xy)²+(yz)²+(xz)²=1/4 -2(x²yz+y²xz+z²xy)
=1/4-2xyz
on a aussi (x+y+z)^3=(x+y)^3+3z(x+y)²+3z²(x+y)+z^3
d'ou x^3+y^3+z^3+3x²y+3xy²+3z(1-z)²+3z²(1-z)=1
d'ou 3xy(x+y)+3z(1-2z+z²)+3z²-3z^3=-2
(i.e) 3xy(1-z)+3z-3z²=-2
(i.e) 3xyz=2+3xy+3z-3z²
(i.e) 3xyz=2+3(xy+xz+yz)
et on trouve finalement xyz=1/6
mais on aura (xy)²+(yz)²+(xz)²=-1/12 Neutral
Je pense que tu as raison: un tel triplet de "réel" n'existe pas.
L'exercice ne perdra pas sa valeur si c'était mentionné que le triplet dont on parle est composé de trois nombres complexes.
Tu peux utiliser Wolfram alpha pour avoir une idée claire.
Revenir en haut Aller en bas
Contenu sponsorisé




x^4+y^4+z^4=? Empty
MessageSujet: Re: x^4+y^4+z^4=?   x^4+y^4+z^4=? Empty

Revenir en haut Aller en bas
 
x^4+y^4+z^4=?
Revenir en haut 
Page 1 sur 1

Permission de ce forum:Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Forum des amateurs de maths :: Olympiades :: Divers-
Sauter vers: