Problème

Soit n>1, et soient a_1, a_2, ... , a_n des réels positives tel que: .

Trouver la valeur maximale de: .

Sauf erreur éventuelle il est assez trivial de voir que ta somme sera maximal si tout les a_i sont égaux à 1/n .
Dans ce cas il suffit de factoriser par 1/n^(2) et on doit maximiser :
sum{i<>j , i|j , 1} .
2- il y a [n/j]-1 multiples de j différents de j .
On réécrit notre somme comme sum{j=1..n, (sum{i=1..[n/j]-1 1}) } et donc on trouve
sum([n/j],j=1..n)-n .
Désolé pour Latex . ( Pour 42 ça fait 126 ) .

sorry,it was a mistake.

darkpseudo a écrit:

Sauf erreur éventuelle il est assez trivial de voir que ta somme sera maximal si tout les a_i sont égaux à 1/n .
Dans ce cas il suffit de factoriser par 1/n^(2) et on doit maximiser :
sum{i<>j , i|j , 1} .
2- il y a [n/j]-1 multiples de j différents de j .
On réécrit notre somme comme sum{j=1..n, (sum{i=1..[n/j]-1 1}) } et donc on trouve
sum([n/j],j=1..n)-n .
Désolé pour Latex . ( Pour 42 ça fait 126 ) .

Peux tu me donner une démonstration, ou un lien où je peux trouver une ?

Il n'y a pas vraiment besoin de démonstration, c'est surtout intuitif.
Il y a [n/j] multiples de j inférieurs à n, où [ ] désigne la fonction partie entière et en enlevant j on obtient le résultat.

En fait tu dois diviser par n² pour avoir le max de ta somme ( la facto que j'ai faite au début ) , sinon pour le [n/j] tu écris que le nombre de multiples de j inférieurs ou égaux à n est m tel que : mj=<n<m(j+1) tu divise par j et hop tu as une partie entière .
Amicalement .