Forum des amateurs de maths
Vous souhaitez réagir à ce message ? Créez un compte en quelques clics ou connectez-vous pour continuer.


Aide pour les futurs mathématiciens
 
AccueilAccueil  PortailPortail  RechercherRechercher  Dernières imagesDernières images  S'enregistrerS'enregistrer  Connexion  
Le Deal du moment :
Coffret dresseur d’élite ETB ...
Voir le deal
56.90 €

 

 2 exercices corcés

Aller en bas 
2 participants
AuteurMessage
Thyro
Débutant



Féminin Nombre de messages : 2
Age : 28
Date d'inscription : 27/11/2011

2 exercices corcés Empty
MessageSujet: 2 exercices corcés   2 exercices corcés EmptyVen 30 Déc 2011, 22:10

Salut voila deux exos assez corsé j'y travaille encore mais je trouve quelques difficultées

2 exercices corcés Tfr76810

et le deuxième

2 exercices corcés Sans_t10

merci d'avance Smile
Revenir en haut Aller en bas
callo
Expert sup
callo


Masculin Nombre de messages : 1481
Age : 33
Localisation : paris
Date d'inscription : 03/03/2007

2 exercices corcés Empty
MessageSujet: Re: 2 exercices corcés   2 exercices corcés EmptySam 31 Déc 2011, 12:33

Ahlane

Pour l'exercice 1 :

1-a-démonstration par récurrence immédiate

b- U_(n+1) - U_n = 1/U_n -1 = (1-U_n)/U_n =< 0 par -a Donc U_n est décroissante

2- a- U_(n+1)-1 >= 0 par a

Ensuite : U_(n+1)-1=(U_n² -2U_n +1)/U_n = (U_n-1)²/U_n que l'on veut comparer à 1/2 (U_n-1) on fait donc la différence :

1/2 (U_n-1) - (U_n-1)²/U_n = (U_n-1)(U_n-2(U_n-1))/2U_n = (U_n-1)(U_n-2(U_n-1))/2U_n = (U_n-1)(2-U_n)/2U_n >= 0

d'où l'inégalité souhaitée.

b- Pour une rédaction propre fais une récurrence et utilise la question précédente.

3-a - comme pour tout n U_n =< 2 on a : U_1+U_2+...+U_n =< 2n donc V_n =< 2

Puis, par décroissance de (U_n) : on a : U_1 >=U_n , U_2>=U_n, ...., U_n >= U_n donc en sommant ces inégalités on obtient :

U_1+U_2+...+U_n >= n U_n donc V_n >= U_n

b- on calcule : (n+1) (V_(n+1)-V_n) = (n+1) V_(n+1) - (n+1) V_n = (n+1) V_(n+1) -n V_n-V_n= U_1+U_2+...+U_n+U_(n+1)) - (U_1+U_2+...+U_n) - V_n = U_(n+1) - V_n

d'où l'égalité voulue.

or par décroissance de U_n et par 3.a U_(n+1) =< U_n =< V_n donc U_(n+1)-V_n =< 0 et (V_n) est décroissante.

c- V_n-1= (U_1+U_2+...+U_n - n)/n on écrit n = 1+1+...+1 n fois

donc V_n-1= (U_1-1 +U_2-1+...+U_n-1)/n cqfd

pour obtenir l'inégalité demandée on utilise la 2-b et on utilise la formule donnant la somme de (1/2)^n (majmou3 moutatalia handassia)

4- Par définition : U_(k+1) -U_k = 1/U_k -1
que l'on somme pour k allant de 1 jusqu'à n-1

on obtient alors U_n -U_1 = W_n - (n-1)

d'où W_n = U_n + n -3
Revenir en haut Aller en bas
 
2 exercices corcés
Revenir en haut 
Page 1 sur 1

Permission de ce forum:Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Forum des amateurs de maths :: Lycée :: Première-
Sauter vers: