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 Inégalité

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boubou math
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MessageSujet: Inégalité    Jeu 05 Jan 2012, 21:41

On considère x,y et z trois nombres réels strictement positifs tels que x²+y²+z²+2xyz=1.
Prouver que :

PS: (OWN Smile Smile )
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Nayssi
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MessageSujet: Re: Inégalité    Jeu 05 Jan 2012, 22:17

L'inégalité est équivalente à :
3-(x+y+z) >= 3/2 <=> x+y+z <= 3/2
Puisque x²+y²+z²+2xyz=1, on peut poser x= sin(a/2), y=sin(b/2) et z=sin(c/2) avec a,b et c les angles d'un triangle c-à-d (a;b;c) appartiennent à [0;pi]
<=> sin(a/2)+sin(b/2)+sin(c/2)<=3/2
x -> sin(x) étant concave sur [0;pi] ,
L'inégalité de Jensen donne directement le résultat.
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boubou math
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MessageSujet: Re: Inégalité    Ven 06 Jan 2012, 12:02

Exact,en effet ma solution est un peu plus compliqué,j'avais pas remarqué la possibilité de réduction (ikhtizal) x)


Dernière édition par boubou math le Ven 06 Jan 2012, 21:32, édité 1 fois
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Nayssi
Maître


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MessageSujet: Re: Inégalité    Ven 06 Jan 2012, 13:09

Salut,
Tu peux poster ta solution ? Parce que je n'ai pas pu le faire sans la substitution! Very Happy
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Inégalité    Ven 06 Jan 2012, 16:36

Poser x=cosA, y=cosB, z=cosC t.q: A+B+C=pî. L'inégalité à prouver est cosA+cosB+cosC<=3/2. Ce qui est vrai puisque \sum cosA=1+r/R<=3/2 ( d'après Euler R>=2r)
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boubou math
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MessageSujet: Re: Inégalité    Ven 06 Jan 2012, 18:52

Nayssi a écrit:
Salut,
Tu peux poster ta solution ? Parce que je n'ai pas pu le faire sans la substitution! Very Happy
En effet, ma solution se basait aussi sur une substitution, si on pose

l'inégalité est équivalente à :

d'une autre part

d'ou l'inégalité est équivalente à :

qui est un résultats directe de l'inégalité de Jensen .
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ali-mes
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MessageSujet: Re: Inégalité    Ven 06 Jan 2012, 20:24

Ici: http://mathsmaroc.jeun.fr/t17337-nice#147469 , vous pouvez voir d'autres réponses sans la substitution trigonométrique,
Et cette inégalité a été présenté l'année dernière dans le 5eme test de TSM: http://mathsmaroc.jeun.fr/t17822-olympiade-tsm-n5 .
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Mehdi-el
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MessageSujet: Re: Inégalité    Ven 20 Jan 2012, 21:06

boubou math a écrit:
On considère x,y et z trois nombres réels strictement positifs tels que x²+y²+z²+2xyz=1.
Prouver que :

PS: (OWN Smile Smile )
Own !!!! lol!
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MessageSujet: Re: Inégalité    Aujourd'hui à 03:03

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