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 polynome exercice

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moncef100
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MessageSujet: polynome exercice   Dim 08 Jan 2012, 14:34

bonjour,

f(x)=x^4-2x^3+x²-2x+1

1/ montres que si a est une racine de f(x) alors 1/a est aussi une racine de f(x)
2/ soit t=x+1/x

a) trouver les valeurs possibles de t
b)resoudre alors f(x)

\ merci
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MessageSujet: Re: polynome exercice   Dim 08 Jan 2012, 14:48

Salut,

Pour la 1°, par hypothèse on a : a^4-2a^3+a^2-2a+1=0

Ensuite, tu considères f(1/a)=(1/a)^4-2(1/a)^3+(1/a)^2-2(1/a)+1, et mets tout au même dénominateur. Normalement, tu obtiendras une expression de la forme f(a)/a^4=0 (a=0 n'est pas une racine du polynôme f(x))

Pour la 2°, comme x différent de 0, on a :

x^4-2x^3+x^2-2x+1=0 équivaut à (1/x^2)*[x^4-2x^3+x^2-2x+1]=0 qui équivaut donc à x^2-2x+1-2/x+1/x^2=0

En posant t=x+1/x, on a : t^2=x^2+1/x^2+2
Donc l'équation x^4-2x^3+x^2-2x+1=0 équivaut à t^2-2t-1=0, qu'il est facile de résoudre.

Voilà ! Smile

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diablo902
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MessageSujet: Re: polynome exercice   Dim 08 Jan 2012, 15:19

moncef100 a écrit:
bonjour,

f(x)=x^4-2x^3+x²-2x+1

1/ montres que si a est une racine de f(x) alors 1/a est aussi une racine de f(x)
2/ soit t=x+1/x

a) trouver les valeurs possibles de t
b)resoudre alors f(x)

\ merci
Soit x,1/x,y,z les racines de f(x)
il est bien clair que ces racines sont strictement positives
D'après viète :
i)x+y+1/x+z=2
ii)...
iii)...
iiii)(x)*(1/x)*(y)*(z)=1 d'où z=1/y
Donc x+y+1/x+z=x+y+1/x+1/y=2
Prenons juste la somme des racines
On a d'après AM-GM : x+y+1/x+1/y>=4 d'où 2>=4 contradiction
Aucune valeur car x et 1/x sont 2 racines de f(x) qui( d'après viète )n'a pas de racines
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moncef100
Habitué


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MessageSujet: Re: polynome exercice   Dim 08 Jan 2012, 17:31

merci pour le premiere question mé est que tu pourrai me refaire la deuxieme c un peu flou
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MessageSujet: Re: polynome exercice   Aujourd'hui à 10:07

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