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 Un problème qui vaut de l'or...

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ali-mes
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 986
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MessageSujet: Un problème qui vaut de l'or...   Jeu 12 Jan 2012, 12:56

Soit ABC un triangle, et I le centre de son cercle inscrit, on note X et Y l'intersection du cercle inscrit au triangle ABC avec le cercle circonscrit au triangle BIC, (X est proche de B que C).
On note X' et Y' les intersections de (CX) et (BY) avec le cercle circonscrit au triangle ABC.
Et soient X'' et Y'' les intersections de (BX') et (CY') avec le cercle circonscrit au triangle BIC.
Montrer que le triangle AX''Y'' est isocèle.


(P.S: Je m'excuse pour la formulation du problème qui est un peu pourrie Embarassed ! )

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Mehdi.O
Expert sup


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MessageSujet: Re: Un problème qui vaut de l'or...   Sam 14 Jan 2012, 21:57

Solution :

On note G l'intersection des droites BX' et CY' et Y_1=Y" et X_1=X", tout d'abord on note M le milieu de l'arc BC, il est bien connu que M est le centre du cercle (BIC), puisque XY est l'axe radical du cercle inscrit de ABC et du cercle (BIC) donc IM est perpendiculaire à XY. D'autre part nous avons angle{CXY}=angle{CBY}=angle{CBY'}=angle{CX'Y'}, ainsi XY || X'Y', ce qui donne X'Y' est perpendiculaire à IM. Mais nous avons angle{GX_1Y_1}=angle{Y_1CB}=angle{GX'Y'} d'où X_1Y_1 || X'Y' et ainsiX_1Y_1 est perpendiculaire à IM mais puisque MX_1=My_1 donc IM est médiatrice de X_1Y_1, en résumé et compte tenu du fait que les points A,I et M sont allignés on a AX_1=AY_1.


Dernière édition par Mehdi.O le Sam 21 Jan 2012, 17:24, édité 1 fois
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Mehdi-el
Débutant


Masculin Nombre de messages : 9
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Date d'inscription : 20/01/2012

MessageSujet: Re: Un problème qui vaut de l'or...   Sam 21 Jan 2012, 16:51

Mehdi.O a écrit:
Solution :

On note G l'intersection des droites BX et CY' et Y_1=Y" et X_1=X", tout d'abord on note M le milieu de l'arc BC, il est bien connu que M est le centre du cercle (BIC), puisque XY est l'axe radical du cercle inscrit de ABC et du cercle (BIC) donc IM est perpendiculaire à XY. D'autre part nous avons angle{CXY}=angle{CBY}=angle{CBY'}=angle{CX'Y'}, ainsi XY || X'Y', ce qui donne X'Y' est perpendiculaire à IM. Mais nous avons angle{GX_1Y_1}=angle{Y_1CB}=angle{GX'Y'} d'où X_1Y_1 || X'Y' et ainsiX_1Y_1 est perpendiculaire à IM mais puisque MX_1=My_1 donc IM est médiatrice de X_1Y_1, en résumé et compte tenu du fait que les points A,I et M sont allignés on a AX_1=AY_1.
BX'
vaut de l'or... lol! lol! lol! lol!
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Mehdi.O
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Masculin Nombre de messages : 815
Age : 22
Localisation : Rabat
Date d'inscription : 23/07/2010

MessageSujet: Re: Un problème qui vaut de l'or...   Sam 21 Jan 2012, 17:23

Mehdi-el a écrit:
Mehdi.O a écrit:
Solution :

On note G l'intersection des droites BX et CY' et Y_1=Y" et X_1=X", tout d'abord on note M le milieu de l'arc BC, il est bien connu que M est le centre du cercle (BIC), puisque XY est l'axe radical du cercle inscrit de ABC et du cercle (BIC) donc IM est perpendiculaire à XY. D'autre part nous avons angle{CXY}=angle{CBY}=angle{CBY'}=angle{CX'Y'}, ainsi XY || X'Y', ce qui donne X'Y' est perpendiculaire à IM. Mais nous avons angle{GX_1Y_1}=angle{Y_1CB}=angle{GX'Y'} d'où X_1Y_1 || X'Y' et ainsiX_1Y_1 est perpendiculaire à IM mais puisque MX_1=My_1 donc IM est médiatrice de X_1Y_1, en résumé et compte tenu du fait que les points A,I et M sont allignés on a AX_1=AY_1.
BX'
vaut de l'or... lol! lol! lol! lol!

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