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 fonction et suite

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naplhitl
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Féminin Nombre de messages : 61
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MessageSujet: fonction et suite   Sam 04 Fév 2012, 23:43

Soit f continue sur l’intervalle I=[0,1] tel que f(I)C I (C veut dire inclus).on suppose que f est décroissante sur I. soit dans R l’équation ( E ) : f(x)=x^n avec n entier naturel non nul.
1-montrer que ( E ) accepte une seule solution dans I ( on nomme cette solution Un)
2- montrer que la suite (Un) est croissante. En déduire qu’elle est convergente
3- montrer que lim(Un)=1
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galois einstein
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MessageSujet: Re: fonction et suite   Mer 21 Nov 2012, 00:26

1- théorème de bijection
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galois einstein
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MessageSujet: Re: fonction et suite   Mer 21 Nov 2012, 00:36

2- g(x)= f(x)-x^n strictement décroissante , d'où découle le fait que (u_n) est croissante.
(u_n) croissante et majorée ==> elle est convergente
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galois einstein
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MessageSujet: Re: fonction et suite   Mer 21 Nov 2012, 00:39

3- on va utiliser la lemme suivante:

si (u_n) est une suite bornée, croissante et convergente, alors elle converge vers la borne supérieure.

d'où lim (u_n)=1
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Syba
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MessageSujet: Re: fonction et suite   Mer 21 Nov 2012, 22:05

Citation :
3- on va utiliser la lemme suivante:

si (u_n) est une suite bornée, croissante et convergente, alors elle converge vers la borne supérieure.

d'où lim (u_n)=1
C'est faux ! La lemme nous dit seulement que: [U_n croissante et majorée] ==> [U_n < L] (résultat qu'on peut prouver facilement par absurde)
Soit n de N, on pose: L = lim(U_n).
On a: 0<= U_n <= 1 et (U_n) convergente, d'ou: 0<= L <=1
Supposons que L est différent de 1, donc: 0<= L < 1, ou encore: lim L^n = 0.
Or: [0 <= U_n < L] ==> [f(0) <= f(U_n) < f(L)] ==> [0 <= f(U_n) < L^n] ==> [lim f(U_n)=0] ==> [f(L)=0] ==>[ L=0] ==> [0<= U_n < 0] contradiction.
Résultat: L=1.
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galois einstein
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MessageSujet: réo   Jeu 22 Nov 2012, 23:20

Syba a écrit:
Citation :
3- on va utiliser la lemme suivante:

si (u_n) est une suite bornée, croissante et convergente, alors elle converge vers la borne supérieure.

d'où lim (u_n)=1
C'est faux ! La lemme nous dit seulement que: [U_n croissante et majorée] ==> [U_n < L] (résultat qu'on peut prouver facilement par absurde)
Soit n de N, on pose: L = lim(U_n).
On a: 0<= U_n <= 1 et (U_n) convergente, d'ou: 0<= L <=1
Supposons que L est différent de 1, donc: 0<= L < 1, ou encore: lim L^n = 0.
Or: [0 <= U_n < L] ==> [f(0) <= f(U_n) < f(L)] ==> [0 <= f(U_n) < L^n] ==> [lim f(U_n)=0] ==> [f(L)=0] ==>[ L=0] ==> [0<= U_n < 0] contradiction.
Résultat: L=1.

si , ce théorème existe, mais c'est hors programme du bac, et tu peux le démontrer grace à la réccurence .
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Syba
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Date d'inscription : 08/09/2012

MessageSujet: Re: fonction et suite   Ven 23 Nov 2012, 19:51

Je sais, mais pourquoi utiliser des lemmes hors programme ^^' en plus c'est pas comme ca qu'on l'utilise...
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MessageSujet: Re: fonction et suite   

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