fonction et suite

Soit f continue sur l’intervalle I=[0,1] tel que f(I)C I (C veut dire inclus).on suppose que f est décroissante sur I. soit dans R l’équation ( E ) : f(x)=x^n avec n entier naturel non nul.
1-montrer que ( E ) accepte une seule solution dans I ( on nomme cette solution Un)
2- montrer que la suite (Un) est croissante. En déduire qu’elle est convergente
3- montrer que lim(Un)=1

1- théorème de bijection

2- g(x)= f(x)-x^n strictement décroissante , d'où découle le fait que (u_n) est croissante.
(u_n) croissante et majorée ==> elle est convergente

3- on va utiliser la lemme suivante:

si (u_n) est une suite bornée, croissante et convergente, alors elle converge vers la borne supérieure.

d'où lim (u_n)=1

Citation :

3- on va utiliser la lemme suivante:

si (u_n) est une suite bornée, croissante et convergente, alors elle converge vers la borne supérieure.

d'où lim (u_n)=1

C'est faux ! La lemme nous dit seulement que: [U_n croissante et majorée] ==> [U_n < L] (résultat qu'on peut prouver facilement par absurde)
Soit n de N, on pose: L = lim(U_n).
On a: 0<= U_n <= 1 et (U_n) convergente, d'ou: 0<= L <=1
Supposons que L est différent de 1, donc: 0<= L < 1, ou encore: lim L^n = 0.
Or: [0 <= U_n < L] ==> [f(0) <= f(U_n) < f(L)] ==> [0 <= f(U_n) < L^n] ==> [lim f(U_n)=0] ==> [f(L)=0] ==>[ L=0] ==> [0<= U_n < 0] contradiction.
Résultat: L=1.

Syba a écrit:

Citation :

3- on va utiliser la lemme suivante:

si (u_n) est une suite bornée, croissante et convergente, alors elle converge vers la borne supérieure.

d'où lim (u_n)=1

C'est faux ! La lemme nous dit seulement que: [U_n croissante et majorée] ==> [U_n < L] (résultat qu'on peut prouver facilement par absurde)
Soit n de N, on pose: L = lim(U_n).
On a: 0<= U_n <= 1 et (U_n) convergente, d'ou: 0<= L <=1
Supposons que L est différent de 1, donc: 0<= L < 1, ou encore: lim L^n = 0.
Or: [0 <= U_n < L] ==> [f(0) <= f(U_n) < f(L)] ==> [0 <= f(U_n) < L^n] ==> [lim f(U_n)=0] ==> [f(L)=0] ==>[ L=0] ==> [0<= U_n < 0] contradiction.
Résultat: L=1.

si , ce théorème existe, mais c'est hors programme du bac, et tu peux le démontrer grace à la réccurence .

Je sais, mais pourquoi utiliser des lemmes hors programme ^^' en plus c'est pas comme ca qu'on l'utilise...