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 Préparations aux olympiades du première (2011-2012)

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Driss Ach
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades du première (2011-2012)   Mer 08 Fév 2012, 15:56

Probléme 13:
On se donne deux réel strictement positifs a et b tel que :
Prouver que : .
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Ahmed Taha (bis)
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades du première (2011-2012)   Mer 08 Fév 2012, 15:57

Siba a écrit:
V48 = 3.8 à peu près, et c'est pas un entier naturel ...

Spoiler:
 
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aymas
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades du première (2011-2012)   Mer 08 Fév 2012, 16:52

Spoiler:
 
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Siba
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades du première (2011-2012)   Mer 08 Fév 2012, 17:17

Oui,

Sinon pour le 1, j'ai trouvé S = 2013 - (1/3)^2009 , c'est aussi correct ?
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Siba
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades du première (2011-2012)   Mer 08 Fév 2012, 17:31

Qui a fait 6 et 12 ?

Pour 6 on trouve que x^a + y^a - z ^a = x^b + y^b - z^b
Je sais pas si ca conclut la solution...
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aymas
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades du première (2011-2012)   Mer 08 Fév 2012, 18:25

Spoiler:
 
SAUF ERREUR!!!!


Dernière édition par aymas le Mer 08 Fév 2012, 20:16, édité 3 fois
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boubou math
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades du première (2011-2012)   Mer 08 Fév 2012, 18:38

Pour le 6
Spoiler:
 
Amicalement


Dernière édition par boubou math le Mer 08 Fév 2012, 19:19, édité 5 fois
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boubou math
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades du première (2011-2012)   Mer 08 Fév 2012, 18:44

aymas a écrit:
Spoiler:
 
SAUF ERREUR!!!!
On ne peut pas supposer l'existence d'un tel k car on a pas a multiple b et puis x,y et sont des réels et non pas seulement dans IN il faut que tu révise ta solution !!!
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Siba
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades du première (2011-2012)   Mer 08 Fév 2012, 19:59

Oui, en plus l'avant dernère ligne est fausse, on peut pas conclure que x^k +1 = = ... = 1

4 + 6 = 10
ca ne veut pas dire que 4 x 1 + 6 x 1 = 10 x 1 et puis c'est tout, par exemple on a :
4 x 2 + 6 x 2 = 10 x 2 ...
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aymas
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades du première (2011-2012)   Mer 08 Fév 2012, 20:07

ah vraiment merci pour ta remarque j'ai pas fais attention
j'ai voulu écrire a=b+k je vais le corrigé
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boubou math
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades du première (2011-2012)   Jeu 09 Fév 2012, 00:39

Pour le 12
On sait bien que parmi les triangles qui ont le même périmètre , le triangle équilatérale a la surface maximal .
soit A'B'C' un triangle équilatérale qui a le même périmètre que ABC et notons s' sa surface.
on a ainsi (tel que x est la longueur des cotés du triangle)
mais on a s=<s' , ce qui permet de conclure .
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Siba
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades du première (2011-2012)   Jeu 09 Fév 2012, 10:25

Vu que personne ne poste de problème , je vous propose celui-ci assez facile:

Problème 14:

Montrer que:

S = 1/4 xsqrt(P x (P-2a)(P-2c)(P-2b))

Dans un triangle de surface S, de perimetre P, et de cotés a , b et c.


Dernière édition par Siba le Jeu 09 Fév 2012, 14:35, édité 1 fois
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Siba
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades du première (2011-2012)   Jeu 09 Fév 2012, 10:53

Pour le 13:

Après le calcul pour résoudre l'equation 1, j'ai trouvé le système suivant:
(a+4)x(V2)(b+2) = 20
a = (V2)(b+2)- 4
Après le calcul des valeurs, ca nous mène directement au résultat.
Et pour se rassurer, on peut faire un raisonnement par raisonnement par contraposé, ce qui confirme le résultat.

PS: J'ai pas écrit toute ma solution car j'ai du mal à rédiger les signes de maths sur pc .
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Ahmed Taha (bis)
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades du première (2011-2012)   Jeu 09 Fév 2012, 11:15

Siba a écrit:
Vu que personne ne poste de problème , je vous propose celui-ci assez facile:

Problème 14:

Montrer que:

S = 1/4 xsqrt(P x (P-a)(P-c)(P-b))

Dans un triangle de surface S, de perimetre P, et de cotés a , b et c.

je pense que la question est fausse scratch
la formule de héron est :
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Siba
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades du première (2011-2012)   Jeu 09 Fév 2012, 14:36

J'avais juste fait un peu de changement pour poser la question, sinon voici la démonstration en utilisant al-kashi et la surface d'un triangle...

S = a.c.sinB /2
= ((a.c)/2) xV(1 - cos^2 B)
= ((a.c)/2) xV(1- cos B)(1 + cos B)
= ((a.c)/2) xV(1 - (a^2 + c^2 - b^2)/(2ac))(1 + (a^2 + c^2 - b^2)/(2ac))
= ((a.c)/2) xV( 2ac - a^2 - c^2 + b^2 / 2ac ) ( 2 ac + a^2 + c^2 - b^2 / 2ac)
= 1/2 xV( 1/2 ( 2ac - a^2 - c^2 + b^2) 1/2 (2 ac + a^2 + c^2 - b^2)
= 1/4 xV(b^2 -(a-c)^2)((a+c)^2 - b^2)
= 1/4 xV(b-a+c)(b+a-c)(a+c-b)(a+c+b)
S = 1/4 xV(P x (P-2a)(P-2c)(P-2b))
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aymas
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades du première (2011-2012)   Jeu 09 Fév 2012, 17:54

Problème 15:



Dernière édition par aymas le Jeu 09 Fév 2012, 19:55, édité 1 fois
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Siba
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades du première (2011-2012)   Jeu 09 Fév 2012, 18:57

On calcule:

X = 1/V(a^2 + 1) - 1/2 + 1/V(b^ + 1) - 1/2 + 1/V(c^2 + 1) -1/2

X = [(2 - V(a^2 + 1)) / 2V(a^2 + 1)] +[(2 - V(b^2 + 1)) / 2V(b^2 + 1)] +[(2 - V(c^2 + 1)) / 2V(c^2 + 1)]

La, il suffit de montrer que 2 - V(a^2 + 1) et 2 - V(b^2 +1) et 2 - V(c^2 +1) sont négatifs.

Prenons a:
2 - V(a^2 + 1) < 0 <==> a > V3

Or,
On sait que si a + b + c = abc , alors la valeur minimal est V3 , parce que:
3m < m^3 ==> m > V3 (ou m est la valeur min)

Il en est de meme pour b et c.

Donc:
2 - V(a^2 + 1) et 2 - V(b^2 +1) et 2 - V(c^2 +1) sont tous négatifs.

Alors:
1/V(a^2 + 1) + 1/V(b^ + 1) + 1/V(c^2 + 1) < 3/2

Sauf erreur !

PS: "<" ca veut dire inférieur ou égal "=<".
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aymas
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades du première (2011-2012)   Jeu 09 Fév 2012, 19:46

pas forcement on sait que d'apres IAG la valeur minimale de a+b+c=3V3
on suppose que c=<b=<a donc c=<V3 et V3=<a alors la minimalité des variables n'est pas satisfais
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aymas
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades du première (2011-2012)   Jeu 09 Fév 2012, 19:56

Siba je vais édité l' exo . j'ai commis une faute de frappe.
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nmo
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades du première (2011-2012)   Jeu 09 Fév 2012, 20:02

aymas a écrit:
Problème 15:

L'inégalité à démontré est érronée sinon, pourquoi faire apparaître au lieu d'écrire directement a.
Je pense que la nouvelle inégalité est sans doute .
Il suffit de faire la substition , , .
[[ et .
On a donc , et cycliquement.
Et puis, l'inégalité à démontrer devient .
Ce qui est une application directe de l'inégalité de la convexité (la fonction cosinus étant concave sur [[).
CQFD.
Sauf erreur.
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Siba
Maître


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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades du première (2011-2012)   Jeu 09 Fév 2012, 20:06

non, c'est faux ce que tu dis:

V3 =< c =< b =< a , on a le cas d'egalité quand a b et c prennent la valeur V3...
tu peux pas dire c =< V3 ...
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aymas
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades du première (2011-2012)   Jeu 09 Fév 2012, 20:34

peut tu rediger ta demonstration si c'est possible je voudrai egalement la connaitre
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Siba
Maître


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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades du première (2011-2012)   Jeu 09 Fév 2012, 20:53

aymas a écrit:
peut tu rediger ta demonstration si c'est possible je voudrai egalement la connaitre

regarde page 3 .. c'est déja fait.

Puis , y a nmo qui a utilisé une autre méthode plus simple.
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aymas
Maître


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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades du première (2011-2012)   Jeu 09 Fév 2012, 22:12

oui nmo c'est déja declarer bon solution
voici la mienne


Amicalement
Very Happy
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aymas
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades du première (2011-2012)   Jeu 09 Fév 2012, 22:31

Pour le 12eme exo j'ai utilisé une methode differente
Spoiler:
 
AMICALLEMENT Very Happy
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades du première (2011-2012)   Aujourd'hui à 05:59

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