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diablo902
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MessageSujet: trouver tous x,y   trouver tous x,y EmptyDim 12 Fév 2012, 18:21

Trouver tous les entiers x,y tels que :
x^3+y^3+x²y+y²x=8(x²+y²+xy+1)
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nmo
Expert sup



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MessageSujet: Re: trouver tous x,y   trouver tous x,y EmptyMar 14 Fév 2012, 20:21

diablo902 a écrit:
Trouver tous les entiers x,y tels que :
x^3+y^3+x²y+y²x=8(x²+y²+xy+1)
L'équation proposée est équivalente à trouver tous x,y Gif.
On pose, en guise de simplification, trouver tous x,y Gifet trouver tous x,y Gif.
On a donc trouver tous x,y Gif.
L'équation s'écrit encore trouver tous x,y Gif.latex?s.
Ou encore trouver tous x,y Gif.latex?s^3-2p.
Et cela veut dire trouver tous x,y Gif.latex?s^3-8s^2-2p.==>(*)
Cette relation implique que trouver tous x,y Gif est un entier pair.
D'où l'existence d'un entier trouver tous x,y Gif tel que trouver tous x,y Gif.
Lorsqu'on reprends dans l'équation, on tombe sur trouver tous x,y Gif ou encore sur trouver tous x,y Gif.latex?2k^3-8k^2-p.
On écrit l'équation de la manière suivante trouver tous x,y Gif.
On obtient ainsi trouver tous x,y Gif.latex?p(k-2)=2k^2.(k-2)-4k.
Ce qui veut dire que trouver tous x,y Gif divise 18.
Ainsi trouver tous x,y Gif.
Et trouver tous x,y Gif.
Donc trouver tous x,y Gif.
On se ramène tout simplement vers une distinction marrante de cas:
On prends un entier de l'ensemble précédent et on le remplace dans *.
Lorsqu'on calcule p, on se ramène à rsoudre l'équation trouver tous x,y Gif.
Si le discriminent est négatif ou n'est pas un carré parfait, on n'aura plus de solutions.
On a les résultats suivants:
***Si s=6, on aura trouver tous x,y Gif.
Donc trouver tous x,y Gif, donc trouver tous x,y Gif.
On a trouver tous x,y Gif, qui n'est pas un carré parfait.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=8, on aura trouver tous x,y Gif.
Donc trouver tous x,y Gif, donc trouver tous x,y Gif.
On a trouver tous x,y Gif, qui n'est pas un carré parfait.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=10, on aura trouver tous x,y Gif.
Donc trouver tous x,y Gif, donc trouver tous x,y Gif.
On a trouver tous x,y Gif, qui n'est pas un carré parfait.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=16, on aura trouver tous x,y Gif.
Donc trouver tous x,y Gif, donc trouver tous x,y Gif.
On a trouver tous x,y Gif, qui n'est pas un carré parfait.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=22, on aura trouver tous x,y Gif.
Donc trouver tous x,y Gif, donc trouver tous x,y Gif.
On a trouver tous x,y Gif, qui est négatif.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=40, on aura trouver tous x,y Gif.
Donc trouver tous x,y Gif, donc trouver tous x,y Gif.
On a trouver tous x,y Gif, qui est négatif.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=2, on aura trouver tous x,y Gif.
Donc trouver tous x,y Gif, donc trouver tous x,y Gif.
On a trouver tous x,y Gif, qui est négatif.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=0, on aura trouver tous x,y Gif.
Donc trouver tous x,y Gif, donc trouver tous x,y Gif.
On a trouver tous x,y Gif, qui est négatif.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=-2, on aura trouver tous x,y Gif.
Donc trouver tous x,y Gif, donc trouver tous x,y Gif.
On a trouver tous x,y Gif, qui est négatif.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=-8, on aura trouver tous x,y Gif.
Donc trouver tous x,y Gif, donc trouver tous x,y Gif.
On a trouver tous x,y Gif, qui n'est pas un carré parfait.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=-14, on aura trouver tous x,y Gif.
Donc trouver tous x,y Gif, donc trouver tous x,y Gif.
On a trouver tous x,y Gif, qui est négatif.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=-32, on aura trouver tous x,y Gif.
Donc trouver tous x,y Gif, donc trouver tous x,y Gif.
On a trouver tous x,y Gif, qui est négatif.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Synthèse: le problème proposé n'admet aucune solution entière.

Sauf erreurs.
J'ai perdu beaucoup de temps en cherchant comment diminuer les cas, mais en vain.
J'attends vos critiques et vos solutions alternatives.
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Siba
Maître
Siba


Masculin Nombre de messages : 143
Date d'inscription : 12/12/2011

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MessageSujet: Re: trouver tous x,y   trouver tous x,y EmptyMer 15 Fév 2012, 12:20

C'est clair que tu as perdu beaucoup de temps x)

Moi j'avais essayé de simplifier et diminuer les cas, mais je trouvais qu'il y a 32 cas avec plusieurs sous cas donc j'ai arreté. Je crois qu'il y a donc erreur dans l'ennoncé...
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diablo902
Maître



Masculin Nombre de messages : 279
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MessageSujet: Re: trouver tous x,y   trouver tous x,y EmptyJeu 16 Fév 2012, 18:20

nmo a écrit:
diablo902 a écrit:
Trouver tous les entiers x,y tels que :
x^3+y^3+x²y+y²x=8(x²+y²+xy+1)
L'équation proposée est équivalente à trouver tous x,y Gif.
On pose, en guise de simplification, trouver tous x,y Gifet trouver tous x,y Gif.
On a donc trouver tous x,y Gif.
L'équation s'écrit encore trouver tous x,y Gif.latex?s.
Ou encore trouver tous x,y Gif.latex?s^3-2p.
Et cela veut dire trouver tous x,y Gif.latex?s^3-8s^2-2p.==>(*)
Cette relation implique que trouver tous x,y Gif est un entier pair.
D'où l'existence d'un entier trouver tous x,y Gif tel que trouver tous x,y Gif.
Lorsqu'on reprends dans l'équation, on tombe sur trouver tous x,y Gif ou encore sur trouver tous x,y Gif.latex?2k^3-8k^2-p.
On écrit l'équation de la manière suivante trouver tous x,y Gif.
On obtient ainsi trouver tous x,y Gif.latex?p(k-2)=2k^2.(k-2)-4k.
Ce qui veut dire que trouver tous x,y Gif divise 18.
Ainsi trouver tous x,y Gif.
Et trouver tous x,y Gif.
Donc trouver tous x,y Gif.
On se ramène tout simplement vers une distinction marrante de cas:
On prends un entier de l'ensemble précédent et on le remplace dans *.
Lorsqu'on calcule p, on se ramène à rsoudre l'équation trouver tous x,y Gif.
Si le discriminent est négatif ou n'est pas un carré parfait, on n'aura plus de solutions.
On a les résultats suivants:
***Si s=6, on aura trouver tous x,y Gif.
Donc trouver tous x,y Gif, donc trouver tous x,y Gif.
On a trouver tous x,y Gif, qui n'est pas un carré parfait.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=8, on aura trouver tous x,y Gif.
Donc trouver tous x,y Gif, donc trouver tous x,y Gif.
On a trouver tous x,y Gif, qui n'est pas un carré parfait.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=10, on aura trouver tous x,y Gif.
Donc trouver tous x,y Gif, donc trouver tous x,y Gif.
On a trouver tous x,y Gif, qui n'est pas un carré parfait.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=16, on aura trouver tous x,y Gif.
Donc trouver tous x,y Gif, donc trouver tous x,y Gif.
On a trouver tous x,y Gif, qui n'est pas un carré parfait.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=22, on aura trouver tous x,y Gif.
Donc trouver tous x,y Gif, donc trouver tous x,y Gif.
On a trouver tous x,y Gif, qui est négatif.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=40, on aura trouver tous x,y Gif.
Donc trouver tous x,y Gif, donc trouver tous x,y Gif.
On a trouver tous x,y Gif, qui est négatif.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=2, on aura trouver tous x,y Gif.
Donc trouver tous x,y Gif, donc trouver tous x,y Gif.
On a trouver tous x,y Gif, qui est négatif.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=0, on aura trouver tous x,y Gif.
Donc trouver tous x,y Gif, donc trouver tous x,y Gif.
On a trouver tous x,y Gif, qui est négatif.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=-2, on aura trouver tous x,y Gif.
Donc trouver tous x,y Gif, donc trouver tous x,y Gif.
On a trouver tous x,y Gif, qui est négatif.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=-8, on aura trouver tous x,y Gif.
Donc trouver tous x,y Gif, donc trouver tous x,y Gif.
On a trouver tous x,y Gif, qui n'est pas un carré parfait.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=-14, on aura trouver tous x,y Gif.
Donc trouver tous x,y Gif, donc trouver tous x,y Gif.
On a trouver tous x,y Gif, qui est négatif.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Si s=-32, on aura trouver tous x,y Gif.
Donc trouver tous x,y Gif, donc trouver tous x,y Gif.
On a trouver tous x,y Gif, qui est négatif.
Il n'y a pas de solutions dans ce cas.

***Synthèse: le problème proposé n'admet aucune solution entière.

Sauf erreurs.
J'ai perdu beaucoup de temps en cherchant comment diminuer les cas, mais en vain.
J'attends vos critiques et vos solutions alternatives.
k est un entier(x et y le sont Wink )
c'est un exercice ImO 1980
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nmo
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MessageSujet: Re: trouver tous x,y   trouver tous x,y EmptyVen 17 Fév 2012, 17:07

diablo902 a écrit:
k est un entier (x et y le sont Wink )
c'est un exercice ImO 1980
Ce n'est pas une critique mon cher.
Un entier est soit positif, soit négatif.
Il faut chercher une autre methode pour diminuer les cas.
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Siba
Maître
Siba


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MessageSujet: Re: trouver tous x,y   trouver tous x,y EmptySam 18 Fév 2012, 16:29

Bonsoir,

Je viens de trouver enfin la solution:
S = {(2,8);(8,2)}

Je vous laisse donc chercher un peu avant de poster ma méthode,
bonne chance ;)
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diablo902
Maître



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MessageSujet: Re: trouver tous x,y   trouver tous x,y EmptySam 18 Fév 2012, 16:56

nmo a écrit:
diablo902 a écrit:
k est un entier (x et y le sont Wink )
c'est un exercice ImO 1980
Ce n'est pas une critique mon cher.
Un entier est soit positif, soit négatif.
Il faut chercher une autre methode pour diminuer les cas.
J'ai oublié positives.En tout cas votre méthode est fausse Smile
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Siba
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MessageSujet: Re: trouver tous x,y   trouver tous x,y EmptySam 18 Fév 2012, 17:31

Bonsoir,
diablo902, si ce n'est pas ta solution, pourquoi donc la poster et en anglais en plus ???

Bon, voici ma solution:
On pose x^2+y^2 = a , x+y = b.
Comme nmo, j'ai trouvé que:
b E {6,8,10,16,22,40,2,0,-2,-8,-14,-32}
D'une autre part, l'equation est equivalente à:
a(b-4) = 4b^2 +8 (*) ==> b > 4.
Donc:
b E {6,8,10,16,22,40}
En remplacant dans (*), on trouve que:
Seuls b = 10 / a = 68 peuvent satisfaire la relation, en utilisant les carrés parfaits.
Enfin:
S = {(2,8);(8,2)}

PS: Mon grand frère a trouvé le meme résultat en utilisant la dérivation sur x et sur y.
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nmo
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MessageSujet: Re: trouver tous x,y   trouver tous x,y EmptySam 18 Fév 2012, 20:27

diablo902 a écrit:
J'ai oublié positives. En tout cas votre méthode est fausse Smile
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Non, la methode est bonne.
Mais, je me suis trompé dans les calculs.
En tout cas, merci pour la solution.
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MessageSujet: Re: trouver tous x,y   trouver tous x,y Empty

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