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 intégrales et limite de suites connues

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naplhitl
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Date d'inscription : 16/11/2009

MessageSujet: intégrales et limite de suites connues   Sam 18 Fév 2012, 19:52

voilà la première partie de l'exercice mais qui ne
dépend pas des autres que je posterai après:


Soient Un et Vn deux suites telles que Un=1+1/1 !+1/2 !+…+1/n ! et Vn= Un+ 1/nn !
1)montrez que les deux suites sont adjacentes
2) on pose H(x)=℮^(-x) ∑(k=0 jusqu’à n) x^k/k !
a)montrer que (pour tout x de [0,1]) |h’(x)|<=1/n !
b)en utilisant TAF, démontrez que |Un/℮ -1|<=1/n !
c)en déduire que lim un=℮ puis que ℮ est irrationnel

(pour tout n de N) on pose In= ∫(de 0 à pi/4) tan^n (x) dx
A-1 montrer que (pour tout n de N) In>=In+1
2-In+In+1=1/(n+2)
3-a- montrer que (pour tout n de N) 1/2(n+1)<=In<=1/(n+1)
b-En déduire la limite de la suite (In)
c-on pose (pour tout n de N) f(n)=I(n+4)-In
calculer f(n) en fonction de n
4)calculer I(0) et I(2)
b-calculer en fonction de I(2) et I(4k+2) la somme Σ(p=0 jusqu’à k-1) f(4p+2)
c- en déduire la limite : lim(k tend vers ∞) ∑(q=0 jusqu’à 2k) (-1)^q/(2q+1)
5-a- calculez I(1) et I(3)
b-calculer en fonction de I(1) et I(4k+1) la somme (p=0 jusqu’à k-1) f(4p+1)
c- en déduire la limite :
lim(k tend vers ∞) (∑q=1 jusqu’à 2k) (-1)^q+1/q
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