Aide pour les futurs mathématiciens
 
AccueilAccueil  PortailPortail  FAQFAQ  RechercherRechercher  S'enregistrerS'enregistrer  Connexion  

Partagez | 
 

 Préparation dernière phase 2012.

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Aller en bas 
Aller à la page : Précédent  1, 2, 3, 4, 5  Suivant
AuteurMessage
konica
Maître


Masculin Nombre de messages : 141
Age : 21
Localisation : Tétouan
Date d'inscription : 19/03/2011

MessageSujet: Re: Préparation dernière phase 2012.   Sam 14 Avr 2012, 19:17

Oty a écrit:
solution du Problème 2: on peut supposé que \sum(a_i)=1 , en multipliant les deux cotés par : n^3+1 , et en appliquant C-S au membre de gauche , sachant que : n^3+1=(n²+...+n²) +1 , l'inégalité revient a prouver , on posant x=\sum(1\ai) , et a=2012 .que (n²+a)(nx+1) >= (n^3+1)(x+a) , équivalant a (X-n²)(an-1) >=0 ce qui est clairement vrai , puisque , n>=1 et x>= n² (par AM-GM) .

J'ai pas bien compris ce qu'on a en rouge. Est-ce-que l'inégalité est homogène?
Revenir en haut Aller en bas
Oty
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 745
Localisation : casablanca
Date d'inscription : 02/03/2012

MessageSujet: Re: Préparation dernière phase 2012.   Sam 14 Avr 2012, 19:40

@Konica , on peut écrire chaque terme sous cette forme , , d'ou la supposition .
Revenir en haut Aller en bas
Oty
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 745
Localisation : casablanca
Date d'inscription : 02/03/2012

MessageSujet: Re: Préparation dernière phase 2012.   Sam 14 Avr 2012, 19:52

@nmo , le problème n'est pas aussi difficile que tu le pense .... voici la solution : pour n=0 et n=1 l'inégalités vérifier conséquence direct de AM-GM . Si n >= 3 on prenant le couple (2,1\2,1\2) par exemple , l'inégalité est fausse . Pour n=2 ce cas est le plus compliqué a traité , l'inégalité revient a prouver que : abc(a²+b²+c²)=< 3 . avec : a+b+c=3 , Posant : t=ab+bc+ac , on : a²+b²+c²=9-2t . Mais on a aussi : t² >= 3abc(a+b+c)=9abc d'ou abc=<t²\9 . est l"inégo est équivalant a : abc(9-2t)=< 3 , et puisque LHS =< t² (9-2t)\9 il suffit de montrer que : t²(9-2t)=<27 ce qui est equavalent a (t-3)^2(2t+3)>=0 d'ou le résulta , ainsi les valeur de n solution sont {0,1,2} et pour valeur max n=2 .
Revenir en haut Aller en bas
Oty
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 745
Localisation : casablanca
Date d'inscription : 02/03/2012

MessageSujet: Re: Préparation dernière phase 2012.   Sam 14 Avr 2012, 19:56

Problème 8: soit O le centre du cercle circonscrit au triangle acutangle ABC . la droite (AO) coupe BC en M . la droite (BO) coupe AC en N . Montrer que si : CM=CN , alors : AC=BC .
Revenir en haut Aller en bas
nmo
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 2221
Age : 23
Localisation : Elgara
Date d'inscription : 29/10/2009

MessageSujet: Re: Préparation dernière phase 2012.   Sam 14 Avr 2012, 20:30

Oty a écrit:
@nmo , le problème n'est pas aussi difficile que tu le pense .... voici la solution : pour n=0 et n=1 l'inégalités vérifier conséquence direct de AM-GM . Si n >= 3 on prenant le couple (2,1\2,1\2) par exemple , l'inégalité est fausse . Pour n=2 ce cas est le plus compliqué a traité , l'inégalité revient a prouver que : abc(a²+b²+c²)=< 3 . avec : a+b+c=3 , Posant : t=ab+bc+ac , on : a²+b²+c²=9-2t . Mais on a aussi : t² >= 3abc(a+b+c)=9abc d'ou abc=<t²\9 . est l"inégo est équivalant a : abc(9-2t)=< 3 , et puisque LHS =< t² (9-2t)\9 il suffit de montrer que : t²(9-2t)=<27 ce qui est equavalent a (t-3)^2(2t+3)>=0 d'ou le résulta , ainsi les valeur de n solution sont {0,1,2} et pour valeur max n=2 .
Quel problème as-tu résolu?
Est ce celui où , ou bien celui où ?
Revenir en haut Aller en bas
Oty
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 745
Localisation : casablanca
Date d'inscription : 02/03/2012

MessageSujet: Re: Préparation dernière phase 2012.   Sam 14 Avr 2012, 20:34

Ohhhhh je suis sincérement désolé c'est =< 3 dans l'ennoncé . En fait le cas de >=3 , ta remarque est bien pertinente , a partir de n>=3 l'inégalité sera vérifier si le sens etait >= , Bravo Very Happy
Revenir en haut Aller en bas
nmo
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 2221
Age : 23
Localisation : Elgara
Date d'inscription : 29/10/2009

MessageSujet: Re: Préparation dernière phase 2012.   Sam 14 Avr 2012, 20:38

Oty a écrit:
Ohhhhh je suis sincérement désolé c'est =< 3 dans l'ennoncé .
Tu comprends maintenant d'où provient la difficulté dont je parlais.
On doit oublier ce problème et continuer le jeu. Il faut que tu soit vigilant la prochaine fois!
Revenir en haut Aller en bas
Oty
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 745
Localisation : casablanca
Date d'inscription : 02/03/2012

MessageSujet: Re: Préparation dernière phase 2012.   Sam 14 Avr 2012, 21:04

j'ai proposer un autre , je pense qu'il est bien ardu .


Dernière édition par Oty le Sam 14 Avr 2012, 23:25, édité 1 fois
Revenir en haut Aller en bas
ali-mes
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 986
Age : 20
Localisation : Tétouan
Date d'inscription : 01/10/2010

MessageSujet: Re: Préparation dernière phase 2012.   Sam 14 Avr 2012, 22:42

édité Laughing


Dernière édition par ali-mes le Dim 15 Avr 2012, 00:27, édité 1 fois
Revenir en haut Aller en bas
Oty
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 745
Localisation : casablanca
Date d'inscription : 02/03/2012

MessageSujet: Re: Préparation dernière phase 2012.   Sam 14 Avr 2012, 23:34

@Ali , il te faut montrer que cette fonction est bien comme tu le dis .....
Revenir en haut Aller en bas
ali-mes
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 986
Age : 20
Localisation : Tétouan
Date d'inscription : 01/10/2010

MessageSujet: Re: Préparation dernière phase 2012.   Dim 15 Avr 2012, 00:22

Oty a écrit:
@Ali , il te faut montrer que cette fonction est bien comme tu le dis .....

What a Face , j'ai cru que c'était facile à démontrer , mais ce n'est pas le cas !! je vais chercher une autre solution Laughing
Revenir en haut Aller en bas
nmo
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 2221
Age : 23
Localisation : Elgara
Date d'inscription : 29/10/2009

MessageSujet: Re: Préparation dernière phase 2012.   Dim 15 Avr 2012, 01:11

ali-mes a écrit:
Oty a écrit:
@Ali , il te faut montrer que cette fonction est bien comme tu le dis .....
What a Face , j'ai cru que c'était facile à démontrer , mais ce n'est pas le cas !! je vais chercher une autre solution Laughing
La dérivée de f était strictement positive, c'est à dire que f est une bijection comme voulu.
Jette un coup d'oeuil ici:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sinx+%2Fcos%28a-x%29.
(N'oublie pas que cos(a) est supérieur ou égal à 0 quand a est un élément du premier quart du plan, et c'est le cas car tous les angles sont aigus.)
Au plaisir!
Revenir en haut Aller en bas
Oty
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 745
Localisation : casablanca
Date d'inscription : 02/03/2012

MessageSujet: Re: Préparation dernière phase 2012.   Dim 15 Avr 2012, 01:23

@ nmo , cest , sin(2x) au numérateur et non sin(x) !
Revenir en haut Aller en bas
Oty
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 745
Localisation : casablanca
Date d'inscription : 02/03/2012

MessageSujet: Re: Préparation dernière phase 2012.   Dim 15 Avr 2012, 02:37

sayé je pense que je l'ai , voici ma démonstration pour le problème 8 : soit P et Q l'intersection de (AO) et (BO) avec le cercle respectivement , on parvient avec ses deux une facile chasse d'angle donne : MAC=90-B , et NBC=90-A , on note : BC=a , AB=c et AC=b en terme d'aire on a : , de meme On trouve : , ainsi CM=CN implique que : , d'ou : , (en transformant a\b avec la loi des sinus)....
Revenir en haut Aller en bas
Oty
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 745
Localisation : casablanca
Date d'inscription : 02/03/2012

MessageSujet: Re: Préparation dernière phase 2012.   Dim 15 Avr 2012, 09:36

Problème 10 : Trouver toute les fonction : , défini de R vers R tel que : quelque soit x et y appartenant a R : .
Revenir en haut Aller en bas
yasserito
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 615
Age : 21
Localisation : Maroc
Date d'inscription : 11/07/2009

MessageSujet: Re: Préparation dernière phase 2012.   Dim 15 Avr 2012, 22:10

Solution problème 10:
Spoiler:
 

Revenir en haut Aller en bas
Oty
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 745
Localisation : casablanca
Date d'inscription : 02/03/2012

MessageSujet: Re: Préparation dernière phase 2012.   Dim 15 Avr 2012, 22:51

y a aussi la fonction nul Smile , a toi de proposé .
Revenir en haut Aller en bas
yasserito
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 615
Age : 21
Localisation : Maroc
Date d'inscription : 11/07/2009

MessageSujet: Re: Préparation dernière phase 2012.   Dim 15 Avr 2012, 23:02

Oui je l'ai mentionné dans ma solution...
Problème 11:
Trouvez tous les fonctions f:IR-->IR qui satisfont le relation suivante:


Revenir en haut Aller en bas
Oty
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 745
Localisation : casablanca
Date d'inscription : 02/03/2012

MessageSujet: Re: Préparation dernière phase 2012.   Lun 16 Avr 2012, 01:20

ma démo pour le Probléme 11 : bon je n'ai pas fais les réciproque pour isolé les solutions vu qu'il y a trop de cas , il est facile de vérifier ... P(0,0) donne deux cas : f(0)=1 ou f(0)=-1 . si f(0)=1 , P(x,0) donne , f(x)=1 quelque soit x qui est clairement pas une solution . d"ou ; f(0)=-1 . P(1,-1) donne : f(-1) (f(1)-1)=0 alors f(-1)=0 , ou f(1)=1 , si f(1)=1 , P(x,1) donne f(x+1)=2x+1 il s'ensuit que f(x)=2x-1 quelque soit x (reste a faire la réciproque ) . si f(-1)=0 ,posant f(1)=a , P(x,1) : f(x+1)+f(x)(a-1)=2x+1 (*) , P(x+1,-1) : f(x)=f(-(x+1))-2(x+1)+1 (en remplace dans (*)) on obtient f(x+1)+[f(-(x+1))-2(x+1)+1](a-1)=2x+1 , ou encore : f(x+1)+f(-(x+1))(a-1)=(2(x+1)-1)(a-1)+2x+1=1-a+2ax+2a-2x-2+2x+1=2ax+a . en remplace x par (x-1) il vient que : f(x)+(a-1)f(-x)=2ax-2a+a=2ax-a(**) . en change x par -x , on obtient : f(-x)+(a-1)f(x)=-2ax-a =-a(2x+1) . (en multiplie par - (a-1) puis en additionne avec (**)) il vient que : f(x) [1-(a-1)^2]=a(a-1)(2x+1)+a(2x-1)=a[(a-1)(2x+1)+2x-1]=a[2ax+a-2]=2a²x+a²-2a . d'ou f(x)[2a-a²]=2a²x+a²-2a . d'ou f(x)=2mx+p (si a=f(1) est diff de 0 et 2) il reste plus qu'a faire la réciproque ... , mnt si f(1)=2 . P(2,-1) donne : f(-2)=3(*) . P(-2,1) donne 2f(-2)=f(-2)-1 soit f(-2)=-1 impossible ! mnt si f(1)=0 , on a donc: f(0)=-1 et f(1)=f(-1)=0 . P(x-1,1) donne f(x)=f(x-1)+2(x-1)+1 . et P(x,-1) donne f(x-1)=f(-x)-2x+1 en sommant en obtient f(x)=f(-x) quelque soit x , d'ou f est paire . P(2,-1) donne 0=f(-2)-2+1 ,d 'ou f(-2)=f(2)=1 . P(1-x,x+1) donne : 1+f(1-x)f(x+1)=f(1-x²)+2(x+1)(1-x)+1 .(1) . P(x-1,x+1) : f(2x)+f(x-1)f(x+1)=f(x²-1)+2(x+1)(x-1)+1 (2) ;(2)-(1) donne : f(2x)=4(x-1)(x+1)+1 en changent x par x\2 , en f(x)=x²-3 , reste a vérifier ... sauf érreur .
Revenir en haut Aller en bas
yasserito
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 615
Age : 21
Localisation : Maroc
Date d'inscription : 11/07/2009

MessageSujet: Re: Préparation dernière phase 2012.   Lun 16 Avr 2012, 01:38

C'est bien ...A toi de proposer Oty Smile
Revenir en haut Aller en bas
Oty
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 745
Localisation : casablanca
Date d'inscription : 02/03/2012

MessageSujet: Re: Préparation dernière phase 2012.   Lun 16 Avr 2012, 02:14

Problème 12 : soit a,b et Trois réels vérifiant la condition suivantes : a²+b²+c²=3 . Montrer que :
Revenir en haut Aller en bas
az360
Expert grade2


Masculin Nombre de messages : 312
Age : 22
Localisation : agadir
Date d'inscription : 28/11/2010

MessageSujet: Re: Préparation dernière phase 2012.   Lun 16 Avr 2012, 11:08

Ma Solution 12 :
il suffit de montrer que : (a,b,c >0 et a²+b²+c² = 3 ) => (a+b+c+abc<=4) Very Happy
il existe a,b tel que : (a-1)(b-1) >= 0
alors : a+b <= ab + 1
alors il suffit de montrer que : ab + 1 + c + abc <= 4 <=> (ab+1)(c+1) <= 4
d'outre on a : ab <= (3-c²)/2 et donc : (5-c²)(c+1) <= 8 <=> 3 - 5c + c^3 + c² >= 0
<=> (c+3)(c-1)^2 >= 0 ce qui est juste d'ou le resultat .
Revenir en haut Aller en bas
az360
Expert grade2


Masculin Nombre de messages : 312
Age : 22
Localisation : agadir
Date d'inscription : 28/11/2010

MessageSujet: Re: Préparation dernière phase 2012.   Lun 16 Avr 2012, 11:29

probleme 13 :
une droite passant par le sommet A d'un triangle equilateral ABC coupe le coté [BC] en Q et le cercle circonscrit au triangle en P . montrer que : 1/PB + 1/PC = 1/PQ
Revenir en haut Aller en bas
ali-mes
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 986
Age : 20
Localisation : Tétouan
Date d'inscription : 01/10/2010

MessageSujet: Re: Préparation dernière phase 2012.   Lun 16 Avr 2012, 12:02

Solution au Problème 13:
Par Ptolémée, appliquée sur le quadrilatère inscriptible ACPB: PA.BC=PB.AC+PC.AB, donc: PA=PB+PC, ainsi il suffit montrer que: PA/PB=PC/PQ. ce qu'on peut facilement prouver par la loi des sinus:
.

Problème 14:
Soit O le centre du cercle circonscrit d'un triangle acutangle ABC, les droites AO,BO et CO coupent respectivement les cercles circonscrits au triangles BOC, AOC et AOB en A_1,B_1 et C_1.
Montrer que:
Revenir en haut Aller en bas
ali-mes
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 986
Age : 20
Localisation : Tétouan
Date d'inscription : 01/10/2010

MessageSujet: Re: Préparation dernière phase 2012.   Jeu 19 Avr 2012, 12:21

Pour ne pas tarder le jeu, je propose une réponse pour le problème 14:

Solution au problème 14:
(R est le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC)
Solution 1:
On a:

.
De la même manière, on démontre que: .
Ainsi, l'inégalité à démontrer est équivalente à:
ou encore: , ce qu'on peut déduire facilement d'après l'inégalité de Nesbitt.

Solution 2:
On a:


.
Analogiquement, on montre que: .
Donc: , et d'après C.S:
.

Problème 15:
On écrit sur un tableau les entiers de 1 à 2010. A chaque étape, on en efface deux et on écrit à la place leur différence. Le nombre d'entiers diminue donc de 1. Le dernier entier obtenu à la deux mille neuvième étape peut-il être nul ?
Revenir en haut Aller en bas
Contenu sponsorisé




MessageSujet: Re: Préparation dernière phase 2012.   Aujourd'hui à 11:36

Revenir en haut Aller en bas
 
Préparation dernière phase 2012.
Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Revenir en haut 
Page 2 sur 5Aller à la page : Précédent  1, 2, 3, 4, 5  Suivant
 Sujets similaires
-
» Préparation dernière phase 2012.
» Le dernier jeu pour la préparation aux IMOs 2012:
» Kali-Yuga
» date butoire ????
» Nouvelle

Permission de ce forum:Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Forum des amateurs de maths :: Lycée :: Première-
Sauter vers: