- Monsef.azr a écrit:
Je propose ma solution:
Soit
le nombres de régions déterminés par ces n droites.
Il est facile de dénombrer le nombre de région pour n=1, n=2, n=3 ou encore n=4.
On trouve que:
,
et
.
Et on remarque que
,
et
.
On peut conjecturer donc que
:u_{n+1}=n+u_n)
.
Ce résultat est facile à être justifier.
En effet, si on suppose n-1 droites qui satisfont la condition de l'énoncé alors ces droites vont déterminer
régions, et si on trace une nouvelle droite
)
alors elle coupera chacune des droites déjà tracés selon l'hypothèse en n-1 points.
Et avec chacune de ces droites,
déterminera une région de plus.
Ces droites sont au nombre de n, ce qui veut dire que
va déterminer n régions de plus.
Ce qui se traduit par:
:u_{n}=n+u_{n-1})
, ou encore
:u_{n+1}=n+1+u_{n})
.
Et par conséquent:
:\sum_{i=2}^{n-1}u_{i+1}=\sum_{i=2}^{n-1}(n+1)+\sum_{i=2}^{n-1}u_i)
.
On sait que
:\sum_{i=2}^{n-1}i=\sum_{i=1}^{n}i-n-1=\frac{n(n+1)}{2}-(n+1)=\frac{(n+1)(n-2)}{2}=\frac{n^2-n-2}{2})
.
Donc
:\sum_{i=3}^{n}u_{i}=\frac{n^2-n-2}{2}+n-2+\sum_{i=2}^{n-1}u_i)
.
Et ainsi
:u_n=\frac{n^2-n-2}{2}+n-2+4=\frac{n^2-n-2}{2}+n+2)
.
Et finalement
:u_n=\frac{n^2-n-2+2n+4}{2}=\frac{n^2+n+4}{2})
.
Sauf erreurs.
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