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 Fonction périodique

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2 participants
AuteurMessage
Siba
Maître
Siba


Masculin Nombre de messages : 143
Date d'inscription : 12/12/2011

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MessageSujet: Fonction périodique   Fonction périodique EmptyMar 17 Avr 2012, 00:20

Soit f la fonction définie de R vers R par:
|f(x)|=<1 , et: f(x+13/42) + f(x) = f(x+1/6) + f(x+1/7)
Montrer que f est périodique.
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nmo
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Masculin Nombre de messages : 2249
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Localisation : Elgara
Date d'inscription : 29/10/2009

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MessageSujet: Re: Fonction périodique   Fonction périodique EmptyMar 17 Avr 2012, 18:20

Siba a écrit:
Soit f la fonction définie de R vers R par:
|f(x)|=<1 , et: f(x+13/42) + f(x) = f(x+1/6) + f(x+1/7)
Montrer que f est périodique.
Je te proposerai une solution classique de ce problème:
Il suffit de remarquer que Fonction périodique Gif.
Ainsi, si on définit une fonction g par Fonction périodique Gif l'hypothèse impliquerait que Fonction périodique Gif.
Cela veut dire que g est périodique, et sa période est Fonction périodique Gif.
Maintenant, pour un x donné, les fonctions Fonction périodique Gif ne peuvent prendre que 6 valeurs distinctes a, b, c, d, e et f, et l'on a pour tout entier n la propriété: Fonction périodique Gif.
(Cela vient, en posant pour ce x donné: g(x)=a, Fonction périodique Gif et ainsi de suite, et puis on exprime la fonction g par son expression, et finalement on somme les égalité qu'on a trouvé.)
L'autre hypothèse, implique que a+b+c+d+e+f est nul. Et cela veut dire que Fonction périodique Gif.
(Au fait, on aura Fonction périodique Gif qui n'est pas vérifié que si a+b+c+d+e+f est nul.)
Ainsi, 1 est le plus petit réel non nul réalisant Fonction périodique Gif. fest donc 1-périodique, ce qui répond à la question.
Sauf erreurs.


Dernière édition par nmo le Jeu 19 Avr 2012, 22:34, édité 2 fois (Raison : Correction)
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Siba
Maître
Siba


Masculin Nombre de messages : 143
Date d'inscription : 12/12/2011

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MessageSujet: Re: Fonction périodique   Fonction périodique EmptyMar 17 Avr 2012, 20:29

Ok, merci Smile moi j'avais trouvé que sa période est de 2k/7, mais j'avais certainement fait une erreur lors de mes calculs.
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MessageSujet: Re: Fonction périodique   Fonction périodique Empty

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