Cinquième olympiade de première (27 Avril 2012)

dans 1 exercice
f(a+b+c)=a+b+c
f(a)+f(b)+f(c)=ac+ab +bc
pour a=b=c ont trouve
que 3[a(a-1)]=0
a=1ou a=0

Ma solution pr le 4 sans utiliser le cercle d'euler (en effet dans cette solution je ne fait rien que prouver ce théorème)

notons g le milieu de [BC] et I l'intersection de (YG) et (XD) ainsi comme ali l'a signalé XYDG est cyclique , d'ou YGD=YXD
et on a (XY)//(DG) d'ou YXD=XDG ainsi IDG=IGD (*)
et on a aussi (YG)//(AB) donc IGD=XBD (**)
de (*) et (**) on conclue que XDB=XBD ainsi le triangle XDB est isocèle d'ou AX=XB=XD d'ou ADB est un triangle rectangle.

exercice 1: on note f(x)=qx^2+px+t
f(a)=bc ; f(b)=ca ; f(c)=ab ==> qa^2+pa+t=bc ; qb^2+pb+t=ca ; qc^2+pc+t=ab ==> q(a^2-b^2)+p(a-b)=bc-ca ; q(b^2-c^2)+p(b-c)=ca-ab ==> q(a+b)+p+c=0 ; q(b+c)+p+a=0 ==> q=1 ; p=-(a+b+c) ==> a^2-(a+b+c)a+t=bc ==> t=ab+bc+ca ==> f(a+b+c)=f(-p)=ab+bc+ca=f(a)+f(b)+f(c)
exercice 2:
1+4x^2>=4x ; 1+4y^2>=4y ; 1+4z^2>=4z ==> xy>=z^2 (1) ; yz>=x^2 (2) ; zx>=y^2 (3) ==> (1)>=(2)*(3) ; (2)>=(1)*(3) ; (3)>=(2)*(1) ==> z^2=xy ; y^2=zx ; x^2=yz ==> S={(0;0;0);(1/2;1/2;1/2)}
exercice 3:
f(sinx)+af(cosx)=cos(2x) ==> f(sin(-pi))+af(cos(-pi))=cos(-2pi) ; f(sin(-pi/2))+af(cos(-pi/2))=cos(-pi) ==> a=-1

exo13 page 197 (al wadihe)

D et E sont les points d intersection d AB et AC avec la droite passant par A et parallèle a BC les deux triangle ABC et DEF sont clairement semblables on montre par une chasse d angles facile que YA=YC=YD d ou le triangle ADC est rectangle...[img]https://servimg.com/view/15991229/10][img]https://i.servimg.com/u/f49/15/99/12/29/az14.png[/img]

ارجوكم اريد حل تمرين الرابع ب العربية